Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19924
Скачиваний: 135
3.1. Типовые динамические звенья
61
2
0
2
R
k
φ
A
k
0
/ 2
Рис. 3.13. АЧХ апериодического Рис. 3.14. ФЧХ апериодического
звена звена
На комплексной плоскости по выражению (3.24) можно построить
амплитудно-фазовую характеристику апериодического звена, которая
имеет вид полуокружности (рис. 3.15).
/2
k
(
)
W j
0
Im
Re
/2
k
k
(
)
W j
Рис. 3.15. Амплитудно-фазовая харак-
теристика апериодического звена
Запишем выражение для логарифмической амплитудно-частотной
характеристики:
2
2
( )
20 lg ( )
20 lg
10 lg 1
.
L
A
k
T
(3.29)
Наиболее просто для звена можно построить асимптотическую ло-
гарифмическую амплитудно-частотную характеристику. В этом случае
следует рассмотреть отдельно области высоких и низких частот и для
каждой определить свою асимптоту:
1) в области низких частот, когда
1 ,
T
вместо точной ЛАЧХ
(3.29) можно рассмотреть приближенную
1
( )
20 lg ;
L
k
(3.30)
Глава 3.
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
62
2) в области высоких частот при
1 T
вторая асимптота имеет
вид
2
( )
20 lg
20 lg(
).
L
k
T
(3.31)
На частоте
0
1 ,
T которая называется собственной частотой
апериодического звена, справедливо условие
1
0
2
0
(
)
(
).
L
L
20lg k
0
lg
L, дБ
lg
дек
20lg k
-20 дБ/дек
0
lg
L, дБ
–20 дБ/дек.
lg ω, дек.
lg
ω
0
20
lg
k
Рис. 3.16. Логарифмическая амплитудно-
частотная характеристика апериодического
звена
Точная характеристика звена на рис. 3.16 показана пунктирной ли-
нией и несколько отличается от асимптотической ЛАЧХ, причем наи-
большая погрешность будет на собственной частоте
0
.
3.1.5. ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Форсирующим называется звено, дифференциальное уравнение
которого имеет вид
1
2
.
y
k u
k u
(3.32)
Нетрудно убедиться в том, что (3.32) можно представить как сумму
уравнений пропорционального и дифференцирующего звеньев.
3.1. Типовые динамические звенья
63
Передаточную функцию форсирующего звена
1
2
( )
y
W p
k
k p
u
принято записывать в стандартной форме
( )
(1
),
W p
k
Tp
(3.33)
где
1
k
k – коэффициент усиления, а
2
1
T
k
k – постоянная времени
звена.
Передаточная функция (3.33) содержит полином в числителе, ко-
рень которого
1
n
T называется «нулем» форсирующего звена.
Его переходная характеристика определяется соотношением
1
2
( )
1( )
( ).
h t
k
t
k
t
(3.34)
Качественный вид ее приведен на рис. 3.17.
Импульсная переходная функция звена следующая:
1
2
( )
( )
( )
( ).
g t
h t
k
t
k
t
(3.35)
Обобщенная частотная характеристика находится по передаточной
функции (3.33) и имеет вид
(
)
(1
).
W j
k
jT
(3.36)
Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика изображена
на рис. 3.18.
h
t
h
0
t
Рис. 3.17. Переходная харак-
теристика форсирующего
звена
1
k
Im
Re
1
k
W(jω)
Re
k
1
Im
Рис. 3.18. Амплитудно-фазовая
характеристика форсирующего
звена
Глава 3.
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
64
Вещественная частотная характеристика звена не зависит от часто-
ты и равна ( )
,
R
k мнимая частотная характеристика представляет
собой прямую
( )
.
I
kT
Амплитудно-частотная характеристика может быть построена по
выражению
2
2
( )
1
,
A
k
T
а фазовая частотная характеристика –
( )
arctg(
),
T
(3.37)
причем в пределе ( )
2.
На основании выражения для ( )
A
определим логарифмическую
амплитудно-частотную характеристику
2
2
( )
20 lg ( )
20 lg
10 lg(1
).
L
A
k
T
(3.38)
Как и в предыдущем случае, для форсирующего звена удобнее
строить не точную, а асимптотическую ЛАЧХ (рис. 3.19). Здесь
0
1/T – собственная частота звена.
Причем ее можно получить, исследуя отдельно области низких и
высоких частот или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифферен-
цирующего звеньев.
20lg k
0
lg
L, дБ
lg
дек
20lg k
+20 дБ/дек
0
lg
L, дБ
+20 дБ/дек.
lg ω, дек.
20 lg k
lg ω
0
Рис. 3.19. Логарифмическая амплитудно-
частотная характеристика форсирующего
звена
3.1. Типовые динамические звенья
65
Нетрудно убедиться, сравнивая выражения (3.28) и (3.29) с выра-
жениями (3.37) и (3.38), в том, что логарифмические амплитудно-
частотная и фазовая частотная характеристики форсирующего звена
представляют собой зеркальное отображение относительно оси абс-
цисс соответствующих логарифмических характеристик апериодиче-
ского звена.
3.1.6. ЗВЕНО ВТОРОГО ПОРЯДКА
Дифференциальное уравнение звена второго порядка
1
0
y
a y
a y
bu
(3.39)
принято записывать в стандартном виде
2
2
,
T y
dTy
y
ku
(3.40)
где
0
1
T
a – постоянная времени звена; d – коэффициент демпфи-
рования, который определяет склонность переходных процессов к ко-
лебаниям,
1
0
2dT
a a ;
0
k
b a – коэффициент усиления.
Передаточную функцию звена получим на основе символической
записи дифференциального уравнения
2
2
2
T p y
dTpy
y
ku
в виде
2
2
( )
.
2
1
y
k
W p
u
T p
dTp
(3.41)
Для определения модальных характеристик запишем характеристи-
ческое уравнение звена
2
2
2
1 0.
T p
dTp
(3.42)
Оно имеет два корня (полюса), которые в зависимости от коэффициен-
та демпфирования d могут быть вещественными или комплексно-
сопряженными, что приводит к различным переходным процессам.
Рассмотрим варианты корней.