Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 3. 

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

66 

1.  Если 

1

d

,  то  корни  уравнения  (3.42)  вещественные  и  отрица-

тельные. Обозначим их через 

1

1

,

p

2

2

p

 и получим переходную 

функцию (рис. 3.20) в виде 

1

2

1

2

( )

1( ).

t

t

h t

c e

c e

k t  

(3.43) 

2.  Если  0

1,

d

  то  корни  уравнения  (3.42)  будут  комплексно-

сопряженными,  т. е. 

1, 2

p

j

  (

0)

.  При 

0

d

  получаем 

1, 2

.

p

j  

В  случае,  когда  коэффициент  демпфирования  изменяется  в  диапа-

зоне  0

1,

d

  звено  второго  порядка  называют  колебательным.  Вы-

ражение для его переходной характеристики: 

1

2

( )

(cos

)

1( ).

t

h t

c e

t

c

k t  

(3.44) 

Причем колебательность переходного процесса будет тем больше, чем 

меньше  коэффициент  демпфирования  d.  В  пределе  при 

0

d

  будут 

иметь место незатухающие колебания. В этом случае звено называется 

консервативным.  Соответствующие  графики  переходных  процессов 

представлены на рис. 3.21. 

h

k

t

Рис. 3.20. Переходная характе-

ристика  звена  второго порядка 

при 

1

d

0

d

0

1

d

h

k

t

0

d

0

1

d

Рис. 3.21. Переходная характеристика 

звена при 0

1

d

h 

k 

h 

k 

t 

t 

d = 0 

0 < d < 1 

Выражение  для  частотной  характеристики  колебательного  звена 

имеет вид 

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

(

)

1 2

(

)

(1

)

4

k

k

kT

jk dT

W j

dTj

T

T

d T

; 

(3.45) 

3.1. Типовые  динамические  звенья

67 

для вещественной частотной характеристики:  

2

2

2

2 2

2

2

2

(1

)

( )

(1

)

4

k

T

R

T

d T

(3.46) 

и мнимой частотной характеристики: 

2

2 2

2 2

2

2

( )

.

(1

)

4

k dT

I

T

d T

(3.47) 

На  основе  (3.46)  и  (3.47)  построим 

АЧХ  на  комплексной  плоскости,  рас-

сматривая  характерные  точки: 

0,  

1/ ,

,

.

T 

  Ее  вид  существен-

но  зависит  от  коэффициента  демпфи-

рования d (рис. 3.22). 

Амплитудно-фазовая характеристика 

консервативного  звена  (

0)

d

  начина-

ется  в  точке  k  на  вещественной  оси  и 

при  увеличении 

  стремится  к 

,  а 

затем из 

  к началу координат. 

Амплитудная  частотная  характеристика  строится  на  основе  выра-

жения 

2

2 2

2

2

2

( )

(1

)

4

k

A

T

d T

(3.48) 

и  может  иметь  резонансный  пик,  высота  которого  будет  тем  больше, 

чем меньше коэффициент демпфирования d. 

Формула для фазовой частотной характеристики имеет вид 

2

2

2

( )

arctg

.

1

d T

T

(3.49) 

Построение  ЛАЧХ  колебательного  звена  (при  0

1

d

)  осуществ-

ляется по соотношению, полученному из (3.48): 

2

2 2

2

2

2

( )

20 lg

20 lg (1

)

4

.

L

k

T

d T

(3.50) 

(

)

W j

Im

Re

1

2d

(

)

W j

Re

1

2d

k

1

2d

Im 

k  Re 

(

)

W j

(

)

W j

1

2d

Рис. 3.22. Амплитудно-фазовая  

характеристика звена второго  

порядка 

Глава 3. 

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

68 

При 

значениях 

коэффициента 

демпфирования в интервале  0,3

1

d

можно  строить  упрощенную  асимпто-

тическую ЛАЧХ, рассматривая отдель-

но области высоких и низких частот. 

В области низких частот 

1 T  

асимптота имеет вид  

1

( )

20 lg .

L

k  

В  области  высоких  частот,  когда 

1

,

T   получим  вторую  асимптоту 

(рис. 3.23) 

2

( )

20 lg

40 lg(

).

L

k

T

На собственной частоте колебательного звена 

0

1 T

 справедли-

во соотношение 

1

0

2

0

(

)

(

).

L

L

Наибольшее  отличие  асимптотической  ЛАЧХ  от  действительной 

характеристики  наблюдается  на  частоте 

0

  (рис.  3.24)  и  зависит  от 

величины коэффициента демпфирования. 

0

lg

1

d

1

d

L, дБ

lg 

дек

0

lg

1

d

1

d

L, дБ 

 d >1 

lg ω, дек. 

lg ω

0

d <

1 

Рис. 3.24. Влияние коэффициента демпфи- 

рования на ЛАЧХ звена 

При  значениях 

0,3

d

  не  следует  пользоваться  асимптотической 

ЛАЧХ, а нужно строить точную логарифмическую характеристику. 

При 

1

d

 корни характеристического уравнения (3.42) будут веще-

ственными  и  передаточную  функцию  звена  второго  порядка  (3.41) 

можно представить в виде произведения двух передаточных функций 

апериодических звеньев: 

20lg k

0

lg

L, дБ

lg 

дек

20lg k

-40 дБ/дек

0

lg

L, дБ 

20 lg

k 

–40 дБ/дек. 

lg ω, дек. 

lg ω

0 

Рис. 3.23. Асимптотическая 

ЛАЧХ колебательного звена 

при 

0,3

1

d

3.2. Структурные  схемы

69 

2

2

1

2

( )

,

(

1)(

1)

2

1

k

k

W p

T p

T p

T p

dTp

(3.51) 

где 

1

1

2

2

1

,

1

T

T

 – постоянные времени апериодических звеньев. 

В  этом  случае  асимптотическая  ЛАЧХ  звена  второго  порядка  имеет 
два «излома» на частотах 

1

1

2

2

1

,

1

.

T

T  

Она может быть получена суммированием асимптотических ЛАЧХ 

двух апериодических звеньев. 

3.2. СТРУКТУРНЫЕ  СХЕМЫ

Структурной  схемой  будем  называть  графическую  модель  систе-

мы, в которой каждому элементу ставится в соответствие его динами-

ческая характеристика.  

Такая  схема  наглядно  отражает  состав  системы  и  связи  между  от-

дельными ее составляющими. 

При  изображении  структурной  схемы  будем  придерживаться  сле-

дующих обозначений ее элементов: 

•  блок  с  указанной  внутри  него  динамической  характеристикой 

элемента; входной и выходной сигналы блока обозначаются стрелками 

(рис. 3.25); 

( )

W p

u

u

k

y

y

( )

W p

Рис. 3.25. Изображение блоков на структурной  

схеме 

•  сумматор (рис. 3.26), выход которого равен сумме входных сиг-

налов.  Знак  каждого  сигнала  может  быть  указан  возле  соответствую-

щего  входа  (рис.  3.26,  а)  или  внутри  сумматора;  при  этом  знак  « » 

относится к перпендикулярно входящему сигналу (рис. 3.26, б); 

а   

б 

Рис. 3.26. Условное изображение 

сумматора на структурной схеме 

Глава 3. 

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

70 

•  интегратор  на  структурной  схеме  будем  условно  обозначать 

символом  интегрирования  (рис.  3.27,  а)  или  в  операторной  форме  

(рис. 3.27, б). 

а 

p 

1 

p 

б 

1 

Рис. 3.27. Условное изображение  

интегратора 

Структурная схема может быть построена на основе как дифферен-

циальных уравнений, так и передаточных функций. 

Отметим,  что  переход  от  исходной  передаточной  функции  или 

уравнения  системы  к  ее  структурной  схеме  может  иметь  несколько 

вариантов  решения.  Возможен  и  обратный  переход,  т.  е.  на  основе 

структурной  схемы  можно  получить  дифференциальное  уравнение 

системы, причем эта задача имеет единственное решение. 

Рассмотрим  вначале  структурные  схемы,  которые  получены  с  ис-

пользованием передаточных функций. При таком представлении внутри 

блока указываются передаточная функция звена, а также входной и вы-

ходной  сигналы  (см.  рис.  3.25).  Для  упрощения  структуры  системы 

применяются различные ее преобразования, приведем основные из них. 

3.3. СТРУКТУРНЫЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 

3.3.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ  СОЕДИНЕНИЕ  ЗВЕНЬЕВ 

Рассмотрим последовательное соединение типовых звеньев с пере-

даточными  функциями 

( ),

1, ,

i

W p

i

m   и  найдем  выражение  для  об-

щей передаточной функции, связывающей между собой входной и вы-

ходной сигналы системы (рис. 3.28). 

1

(

)

W

p

1

x

(

)

m

W

p

1

m

x

1

(

)

W

p

u

y

1

x

(

)

m

W

p

1

m

x

…

Рис. 3.28. Последовательное соединение  

m звеньев