Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19934
Скачиваний: 135
Глава 3.
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
76
Подставляя вместо промежуточных передаточных функций
( ),
i
W p
1,5
i
исходные значения, получим окончательно
п
ф.д
у.м
д
р
у.м
д
р
дат
к
п
ф.д
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
W
p W
p W
p W
p W
p
y
W p
v
W
p W
p W
p W
p W
p
W
p W
p
3.4. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ,
СООТВЕТСТВУЮЩИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Второй способ составления структурной схемы основан на исполь-
зовании дифференциальных уравнений. Рассмотрим его сначала для
объекта, поведение которого описывают векторно-матричные уравне-
ния (2.1), (2.2):
,
,
,
,
,
.
n
m
m
x
Ax
Bu
x
R
u
R
y
Cx
y
R
n
m
(3.59)
Проинтегрируем уравнение состояния в (3.59) по времени и опреде-
лим переменные состояния и выхода в виде
0
( )
(0)
(
)
,
( )
( ).
t
x t
x
Ax
Bu d
y t
Cx t
(3.60)
Уравнения (3.60) являются основными для составления схемы.
(0)
x
u
x
y
B
C
A
(0)
x
Рис. 3.36. Структурная схема, соответствующая
уравнениям состояния объекта
3.4. Структурные схемы, соответствующие дифференциальным уравнениям
77
Структурную схему, соответствующую уравнениям (3.60), удобнее
изображать, начиная с выходных переменных y, причем входные и вы-
ходные переменные объекта желательно располагать на одной гори-
зонтальной прямой (рис. 3.36).
Для одноканального объекта структурную схему можно составить
по уравнению (2.3), разрешив его относительно старшей производной
( )
(
2)
(
1)
1
1
.
n
n
n
n
n
y
a y
a
y
a y
bu
(3.61)
Проинтегрировав (3.61) n раз, получим
(
1)
(
1)
( )
0
0
(
2)
(
1)
1
1
0
( )
(0)
( ) ,
( )
(0)
( ) ,
( )
(0)
.
t
n
n
n
t
t
n
n
n
n
y
t
y
y
t dt
y t
y
y t dt
y t
y
a y
a
y
a y
bu dt
(3.62)
Системе уравнений (3.62) соответствует структурная схема, приве-
денная на рис. 3.37.
b
y
u
n
a
…
…
1
a
(
1)
(0)
n
y
(0)
y
Рис. 3.37. Структурная схема, соответствующая уравнениям (3.61), (3.62)
Как видим, одноканальный объект управления, поведение которого
описывает уравнение (3.61), структурно всегда можно представить в
виде цепочки из n последовательно соединенных интеграторов с об-
ратными связями.
Глава 3.
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
78
ПРИМЕР 3.3
Изобразить структурную схему объекта, модель которого задана сле-
дующей системой дифференциальных уравнений:
1
1
2
2
1
2
1
2
2
,
3
5
2 ,
.
x
x
x
x
x
x
u
y
x
x
Предварительно проинтегрируем уравнения состояния
1
1
1
2
0
2
2
1
2
0
1
2
( )
(0)
(
2
) ,
( )
(0)
( 3
5
2 ) ,
.
t
t
x t
x
x
x dt
x t
x
x
x
u dt
y
x
x
2
(0)
x
1
(0)
x
2
x
2
(0)
x
1
(0)
x
y
u
2
3
2
5
2
x
Рис. 3.38. Иллюстрация составления структурной схемы
по уравнениям состояния
В соответствии с интегральными уравнениями на рис. 3.38 изобразим
структурную схему системы.
3.5. ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ОПИСАНИЮ
Обсудим наиболее известные способы преобразования математиче-
ской модели объекта в виде произвольной передаточной функции к
описанию в переменных состояния. Для этой цели используем соот-
3.5. Переход от передаточной функции к каноническому описанию
79
ветствующие структурные схемы. Отметим, что данная задача неодно-
значна, так как переменные состояния для объекта можно выбирать
различным образом (см. разд. 2.2).
Рассмотрим два варианта перехода к описанию в переменных со-
стояния от передаточной функции объекта
1
1
0
1
1
( )
,
m
m
m
m
n
n
n
b p
b
p
b
y
W p
u
p
a p
a
(3.63)
где
.
m
n Предварительно представим (3.63) в виде произведения
двух передаточных функций:
1)
1
0
1
1
1
( )
;
m
m
n
n
n
W p
b p
b p
b
p
a p
a
(3.64)
2)
1
0
1
1
1
( )
.
m
m
n
n
n
W p
b p
b p
b
p
a p
a
(3.65)
Каждому из этих представлений (3.63) соответствует своя простая
модель в переменных состояния, которая называется канонической
формой.
3.5.1. ПЕРВАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА
Рассмотрим преобразование математической модели системы с пе-
редаточной функцией (3.64). Ее структурную схему можно предста-
вить в виде двух последовательно соединенных звеньев (рис. 3.39).
1
1
1
n
n
n
p
a p
a
1
1
0
m
m
m
m
b p
b
p
b
1
1
1
n
n
n
p
a p
a
u
z
y
1
1
0
m
m
m
m
b p
b
p
b
z
Рис. 3.39. Структурное представление системы (3.64)
Для каждого звена системы запишем соответствующее операторное
уравнение
1
1
1
1
0
(
)
,
(
)
.
m
n
n
n
m
m
m
p
a p
a z
u
b p
b
p
b z
y
(3.66)
Глава 3.
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
80
Определим из первого уравнения (3.66) старшую производную пе-
ременной z , что соответствует значению
n
p z в операторной форме
1
1
.
n
n
n
p z
u
a p
z
a z
Полученное выражение позволяет представить первое уравнение
(3.66) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а вы-
ходная переменная y формируется в соответствии со вторым уравнени-
ем (3.66) как сумма переменной z и ее m производных (рис. 3.40).
1
p
1
p
n
a
1
a
m
m
b p
0
b
u
z
y
1
p
1
p
n
a
1
a
…
…
…
…
m
m
b p
0
b
Рис. 3.40. Схема, соответствующая уравнениям (3.66)
Используя структурные преобразования, получим структурную
схему системы, приведенную на рис. 3.41.
1
p
1
p
n
a
1
a
0
b
1
b
m
b
u
z
y
1
p
1
p
n
a
1
a
…
…
…
…
0
b
1
b
m
b
Рис. 3.41. Структурная схема, соответствующая
канонической форме