Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19935
Скачиваний: 135
3.5. Переход от передаточной функции к каноническому описанию
81
Отметим, что структурная схема, соответствующая передаточной
функции (3.64), состоит из цепочки n интеграторов, где n – порядок
системы. Причем в обратной связи находятся коэффициенты знамена-
теля исходной передаточной функции (коэффициенты характеристиче-
ского полинома), а в прямой связи – коэффициенты полинома ее чис-
лителя.
От полученной структурной схемы нетрудно перейти к модели сис-
темы в переменных состояния. С этой целью выход каждого интегра-
тора примем за переменную состояния
(
1)
1
2
,
,
,
,
n
n
x
z x
z
x
z
что позволяет записать дифференциальные уравнения состояния и
уравнение выхода системы (3.63) в виде
1
2
2
3
1 1
2 2
0 1
1 2
1
,
,
,
.
n
n n
m m
x
x
x
x
x
a x
a x
a x
u
y
b x
b x
b x
(3.67)
Систему уравнений (3.67) можно представить в векторно-
матричной форме (2.1) со следующими матрицами:
1
2
3
0
1
0
0
0
0
0
1
0
,
,
0
1
n
A
B
a
a
a
a
0
1
0
0 .
m
C
b
b
b
Модель системы в переменных состояния (3.67) будем называть
первой канонической формой.
Глава 3.
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
82
3.5.2. ВТОРАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА
Рассмотрим второй способ перехода от передаточной функции
(3.63) к описанию в переменных состояния, для чего структуру систе-
мы (3.65) схематично представим на рис. 3.42. Ее операторные уравне-
ния имеют вид
1
1
1
1
1
0
1
(
)
,
(
)
.
n
n
n
m
m
m
m
p
a p
a y
z
b p
b
p
b u
z
(3.68)
1
1
1
n
n
n
p
a p
a
1
1
0
m
m
m
m
b p
b
p
b
1
1
1
n
n
n
p
a p
a
u
z
y
1
1
0
m
m
m
m
b p
b
p
b
z
1
Рис. 3.42. Структурное представление передаточной функции (3.65)
Аналогично предыдущему случаю представим первое уравнение
(3.68) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а вход-
ное воздействие z
1
сформируем в соответствии со вторым уравнением
(3.68) в виде суммы управления u и m его производных (рис. 3.43).
z
y
1
p
1
p
n
a
1
a
…
…
u
…
m
m
b p
0
b
z
1
Рис. 3.43. Схема, соответствующая уравнениям (3.68)
В результате структурных преобразований получим структурную
схему системы, приведенную на рис. 3.44. Как видим, и в этом случае
структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65),
состоит из цепочки n интеграторов. В обратной связи также распола-
гаются коэффициенты характеристического полинома, а в прямой свя-
зи – коэффициенты полинома ее числителя.
3.5. Переход от передаточной функции к каноническому описанию
83
1
p
1
p
n
a
1
a
0
b
m
b
y
1
p
1
p
n
a
1
a
…
…
…
u
…
0
b
m
b
Рис. 3.44. Структурная схема, соответствующая передаточной
функции (3.65)
Снова в качестве переменных состояния используем выходные ве-
личины интеграторов и запишем относительно их дифференциальные
уравнения состояния и уравнение выхода
1
2
1
1 1
2 2
0
1
,
,
,
.
i
i
i
n
n n
x
x
x
x
b u
x
a x
a x
a x
b u
y
x
(3.69)
По уравнениям (3.69) определим матрицы
1
2
3
0
1
0
0
0
0
1
0
,
n
A
a
a
a
a
0
0
0
,
1 0
0 .
T
m
B
b
b
C
Модель системы в переменных состояния типа (3.69) будем назы-
вать второй канонической формой.
Отметим, что матрица A неизменна для первой или второй канони-
ческих форм и содержит коэффициенты знаменателя исходной переда-
точной функции (3.63). Коэффициенты числителя передаточной функ-
ции (3.63) содержит матрица C (в случае первой канонической формы)
Глава 3.
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
84
или матрица B (в случае второй канонической формы). Поэтому урав-
нения состояния, соответствующие двум каноническим представлени-
ям системы, могут быть записаны непосредственно по передаточной
функции (3.63) без перехода к структурным схемам, приведенным на
рис. 3.40 и 3.43.
Как видим, переход от передаточной функции к описанию в пере-
менных состояния является процедурой неоднозначной. Мы рассмот-
рели варианты перехода к каноническому описанию, которые чаще
других используются в теории автоматического управления.
ПРИМЕР 3.4
Получить два варианта канонического описания и соответствующих
структурных схем для системы, модель которой имеет вид
2
3
2
5
2
7
( )
.
3
4
1
y
p
p
W p
u
p
p
p
Используем представление передаточной функции в виде (3.64) и за-
пишем для нее операторные уравнения
3
2
2
(
3
4
1)
,
(5
2
7)
,
p
p
p
z
u
p
p
z
y
от которых перейдем к структурной схеме, приведенной на рис. 3.45.
2
x
3
x
1
p
1
p
1
p
2
3
4
5
7
u
y
1
x
z
2
x
3
x
1
p
1
p
1
p
3
5
7
1
x
z
Рис. 3.45. Структурная схема, соответствующая первой
канонической форме
3.5. Переход от передаточной функции к каноническому описанию
85
На основании этой структурной схемы запишем уравнения первой ка-
нонической формы в виде
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
,
,
4
3
,
7
2
5 .
x
x
x
x
x
x
x
x
u
y
x
x
x
Для перехода ко второй канонической форме представим передаточ-
ную функцию системы в виде (3.65) и запишем для нее следующие опера-
торные уравнения:
3
2
2
(
3
4
1)
,
(5
2
7)
,
p
p
p
y
z
p
p
u
z
которым соответствует структурная схема, показанная на рис. 3.46.
1
p
1
p
1
p
7
2
3
5
4
1
x
y
u
2
x
3
x
1
p
1
p
1
p
7
3
5
1
x
y
2
x
3
x
Рис. 3.46. Структурная схема, соответствующая второй канонической
форме
Запишем теперь модель системы в виде второй канонической
формы
1
2
2
3
3
1
2
3
1
5 ,
2 ,
4
3
7 ,
.
x
x
u
x
x
u
x
x
x
x
u
y
x