Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19938
Скачиваний: 135
Г л а в а 4
УСТОЙЧИВОСТЬ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
этой главе мы начинаем исследование свойств процессов, про-
исходящих в системах автоматики. Важнейшим из них является
устойчивость – основное качественное свойство системы автоматиче-
ского управления, без которого она неработоспособна.
Физически устойчивость означает, что при ограниченном входном
воздействии выходной сигнал также является ограниченным и процес-
сы в системе стремятся к определенным значениям
при любых началь-
ных условиях.
Качественный вид переходных характеристик устойчивой и неус-
тойчивой систем изображен на рис. 4.1. Очевидно, что для переходной
характеристики устойчивой системы справедливо условие
lim ( )
.
t
h t
k
h
k
t
2
1
h
k
1
t
2
Рис. 4.1. Переходные характеристики системы:
1 – сходящийся процесс, система устойчива;
2 – расходящийся процесс, система неустойчива
В
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
92
Об устойчивости можно судить также по импульсным переходным
функциям (рис. 4.2), которые в случае устойчивой системы удовлетво-
ряют условию
lim ( )
0.
t
g t
g
t
g
t
Рис. 4.2. Импульсная переходная функция
устойчивой системы
Рассмотрим, как можно оценить это свойство для систем, поведение
которых описывают уравнения
,
,
,
,
,
.
n
m
m
x
Ax
Bu
x
R
u
R
y
Cx
y
R
n
m
(4.1)
Определим зависимость переменных состояния от времени как ре-
шение векторно-матричного уравнения состояния (4.1) в виде
(
)
0
( )
(0)
( )
.
t
At
A t
x t
e x
e
Bu
d
(4.2)
Здесь первое слагаемое соответствует свободной составляющей дви-
жения (из произвольных начальных условий), второе – вынужденной
(движение под действием управления).
Одним из основных режимов работы системы управления является
равновесный (статический) режим, при котором переменные со-
стояния с течением времени не меняются, а все производные коорди-
нат состояния равны нулю.
Покажем, что процесс движения к равновесию можно считать сво-
бодным, т. е. он соответствует первому слагаемому в выражении (4.2).
Предварительно запишем уравнение статики, полагая в (4.1)
0,
const
x
u
,
4.1. Основные понятия
93
0
0
,
Ax
Bu
(4.3)
откуда при det
0
A
определим равновесное значение переменных со-
стояния
0
1
.
x
A Bu
(4.4)
Введем новые координаты, равные отклонениям от точки равнове-
сия,
0
x
x
(4.5)
и запишем для них дифференциальное уравнение
0
,
x
x
x
(4.6)
так как
0
0.
x
После подстановки в (4.6) вместо x его значения из (4.1) с учетом
(4.5) получим
0
(
)
.
A
x
Bu
Учитывая (4.4), уравнение в отклонениях принимает вид
.
A
(4.7)
Как видим, уравнение (4.7) не содержит u, и поэтому переходный
процесс по порождается только ненулевыми начальными условиями
согласно уравнению
( )
(0).
At
t
e
(4.8)
Линейная система (4.1) называется устойчивой, если для ее про-
цессов выполняется условие
lim ( )
0.
t
t
(4.9)
Оно представляет собой предел выражения (4.8), которое соответ-
ствует первой составляющей решения (4.2). Таким образом, устойчи-
вость линейной системы (4.1) определяется только ее структурой и
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
94
параметрами и не зависит от величины внешних воздействий и на-
чальных условий. Причем для анализа устойчивости можно не перехо-
дить к уравнениям в отклонениях от состояния равновесия, а исследо-
вать свойства матрицы A.
4.2. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.2.1. ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Для устойчивости линейной системы (4.1) необходимо и доста-
точно, чтобы вещественная часть всех собственных значений мат-
рицы A (корней характеристического уравнения) была отрицатель-
ной, т. е.
Re(
)
0,
1, .
i
i
n
(4.10)
Покажем справедливость этого утверждения, для чего запишем ха-
рактеристическое уравнение системы (4.1)
1
2
1
( )
det(
)
0
n
n
n
A p
pI
A
p
a p
a p
a
(4.11)
и найдем его корни
,
1,
i
i
n
. Используя модальное представление,
определим полный процесс в системе, который представляет собой
сумму экспонент
1
( )
(0).
i
n
t
i
i
i
x t
C e
x
(4.12)
Как видим, качественный характер переходных процессов полно-
стью определяется значениями корней .
i
В случае, когда все они вещественные и отрицательные, каждая ком-
понента выражения (4.12) при выполнении условия (4.10) носит зату-
хающий характер (рис. 4.3). Следовательно, и их сумма также будет
иметь затухающий характер, т. е. будет с течением времени стремиться
к нулю.
4.2. Условия устойчивости линейных систем
95
Если корни характеристического уравнения (4.11) комплексно-
сопряженные с отрицательной вещественной частью, то каждая пара
их дает колебательную составляющую процесса, которая мажорирует-
ся затухающей экспонентой (рис. 4.4).
x
t
2
1
x
t
1
2
Рис. 4.3. Иллюстрация про-
цесса в системе с вещест-
венным корнем:
1 – расходящийся; 2 – зату-
хающий
x
t
t
x
Рис. 4.4. Колебательная составляю-
щая процесса в случае отрица-
тельной вещественной части пары
комплексно-сопряженных корней
х
х
t
t
2
1
Следовательно, и в этом случае про-
цесс, определяемый соотношением (4.12),
будет иметь затухающий характер.
Таким образом, мы показали доста-
точность условия устойчивости (4.10).
Покажем теперь необходимость этого
условия. Предположим, что хотя бы
один из корней
i
имеет положитель-
ную вещественную часть. Соответст-
вующая ему составляющая решения бу-
дет с течением времени возрастать и в
пределе стремиться к бесконечности
(рис. 4.5). Следовательно, полный про-
цесс, который определяется выражением (4.12), будет иметь расходя-
щийся характер, а система (4.1) никогда не сможет стать устойчивой.
Изобразим корневой портрет системы (рис. 4.6) и получим графи-
ческую интерпретацию условия (4.10): для устойчивости линейной
системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характери-
стического уравнения располагались в левой полуплоскости плоско-
сти корней.
x
t
x
t
t
x
Рис. 4.5. Процесс в системе
с положительной веществен-
ной частью пары комплексно-
сопряженных корней