Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19942
Скачиваний: 135
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
96
Im
Re
Re
Im
Re
Рис. 4.6. Иллюстрация
корневого портрета
устойчивой системы
x
t
x
t
Рис. 4.7. Процесс в системе с «мнимыми»
корнями
Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости плос-
кости корней, то система будет неустойчива. Мнимая ось представляет
собой границу устойчивости системы: при расположении комплекс-
но-сопряженных корней на этой оси система находится на границе ус-
тойчивости (при условии, что все остальные корни имеют отрицатель-
ную вещественную часть). При этом процессы имеют вид незатухаю-
щих колебаний (рис. 4.7).
4.2.2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Таким условием является положительность всех коэффициентов
характеристического уравнения (4.11). В этом можно убедиться, если
при известных корнях
i
представить характеристический полином
( )
A p
в виде произведения
1
( )
(
)
(
).
n
A p
p
p
В случае, когда все корни
,
1,
i
i
n
, вещественные
,
i
i
0
i
характеристическое уравнение принимает вид
1
( )
(
)
(
)
0.
n
A p
p
p
Раскрывая скобки, получим уравнение типа (4.11), где все коэффи-
циенты
i
будут положительными. Нетрудно убедиться в том, что
аналогичный результат получится, если корни
i
комплексно-сопря-
женные с отрицательной вещественной частью.
4.2. Условия устойчивости линейных систем
97
Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения
(4.11) устойчивой системы всегда будут положительны. При наличии
хотя бы одного отрицательного коэффициента система будет неустой-
чива, дополнительных исследований не требуется.
В то же время следует помнить, что положительность всех коэффи-
циентов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчи-
вости системы, необходима ее дополнительная проверка.
ПРИМЕР 4.1
Проверить устойчивость системы первого порядка, передаточная
функция которой имеет вид
( )
.
1
k
W p
Tp
Ее характеристическое уравнение следующее:
1
0.
Tp
Оно имеет только один корень
1
,
T который при
0
T
будет ве-
щественным отрицательным.
Следовательно, положительность коэффициентов характеристического
уравнения для системы первого порядка является необходимым и доста-
точным условием устойчивости.
ПРИМЕР 4.2
Проверить устойчивость следующей системы второго порядка:
2 2
( )
.
2
1
k
W p
T p
dTp
Запишем ее характеристическое уравнение
2
2
2
1
0
T p
dTp
и найдем корни
2
1,2
1
.
d
d
T
T
Они будут иметь отрицательную вещественную часть, если одновре-
менно выполняются условия
0,
0.
T
d
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
98
Таким образом, положительность коэффициентов характеристического
уравнения для системы второго порядка также является необходимым и
достаточным условием устойчивости.
4.3. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Применять для анализа устойчивости необходимое и достаточное
условие удобно только в случае систем невысокого порядка, полюса
которых можно вычислить аналитически. Для проверки устойчивости
систем произвольного порядка были разработаны так называемые
критерии устойчивости, которые позволяют по характеристическому
уравнению или частотной характеристике определить, содержит ли
передаточная функция полюса, находящиеся на мнимой оси или в пра-
вой половине комплексной плоскости.
4.3.1. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Этот критерий сформулирован математиком А. Гурвицем в 1895 г.,
он является алгебраическим и связывает расположение корней харак-
теристического уравнения с определенными условиями, которые на-
кладываются на его коэффициенты.
Рассмотрим критерий Гурвица без доказательства.
Предварительно из коэффициентов характеристического уравнения
(4.11)
1
2
1
( )
0
n
n
n
A p
p
a p
a p
a
по следующему правилу составляется матрица Гурвица: на главной
диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты ха-
рактеристического уравнения от
n
a до
1
a включительно. В каждом
столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастаю-
щих степенях оператора p, вверх – при убывающих степенях p. Недос-
тающие элементы в столбце дополняются нулями.
4.3. Критерии устойчивости
99
В результате получим квадратную матрицу вида
2
1
2
3
1
0
0
1
0
0
0
0
0
,
0
0
0
0
0
n
n
n
n
a
a
a
a
H
a
a
a
(4.13)
где dim
.
H
n n
Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы
необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров, полу-
ченных из матрицы Гурвица H, были положительны:
0,
1, .
i
i
n
(4.14)
Здесь
i
– определители Гурвица, которые составляются следующим
образом:
1
2
2
1
2
4
3
1
3
2
1
1
,
det
,
1
det 1
,
0
det
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
H
a
Поскольку определитель
1-го
n
порядка должен быть положи-
тельным, последнее условие соответствует требованию
1
0.
a
Следствием критерия является условие границы устойчивости,
когда последний определитель Гурвица обращается в нуль:
1
1
det
0,
0,
1, (
1).
n
n
i
H
a
i
n
(4.15)
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
100
Это условие распадается на два. Одно из них
1
0,
0,
1,(
1),
i
a
i
n
соответствует полюсу, равному нулю. Второй случай условия (4.15)
имеет вид
1
0,
0,
1, (
1).
n
i
i
n
При этом характеристическое уравнение системы содержит два
комплексно-сопряженных корня, расположенных на мнимой оси плос-
кости корней.
На практике критерий Гурвица обычно применяют для проверки
устойчивости систем невысокого порядка, так как при высоком поряд-
ке условия устойчивости (4.14) становятся очень громоздкими.
ПРИМЕР 4.3
Проверить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы третье-
го порядка, дифференциальное уравнение которой имеет вид
3
2
1
.
y
a y
a y
a y
bu
Запишем ее характеристическое уравнение
3
2
3
2
1
0
p
a p
a p
a
и составим из коэффициентов матрицу Гурвица
3
1
2
3
1
0
1
0 .
0
a
a
H
a
a
a
Получим следующие условия устойчивости системы:
1)
1
3
0;
a
2)
2
3 2
1
;
a a
a
3)
3
1 2
1
det
0
или
0.
H
a
a