Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

4.3. Критерии устойчивости 

101 

Так  как  положительность  всех  коэффициентов  характеристического 

уравнения  следует  из  необходимого  условия,  то  условие  устойчивости 

системы третьего порядка принимает вид 

3 2

1

.

a a

a

Данное соотношение можно рассматривать как частный случай кри-

терия Гурвица, т. е. оно является необходимым и достаточным условием 

устойчивости для систем третьего порядка. 

ПРИМЕР  4.4 

Проверить  с  помощью  критерия  Гурвица  устойчивость  двигателя  по-

стоянного  тока  с  независимым  возбуждением,  полагая  в  качестве  выход-

ной  переменной  угол  поворота  двигателя  ,   который  связан  с  угловой 
скоростью вращения соотношением 

.

d

dt

Добавим к основным уравнениям двигателя, приведенным в примере 2.4, 

выражение для угловой скорости вращения и получим модель объекта 

1

я

2

c

,

,

.

dI

L

RI

c

U

dt

d

J

c I

M

dt

d

dt

Запишем  ее  в  виде  одного  дифференциального  уравнения  относительно 

переменной  :  

я м

м

м

я

(

1)

,

T T

T

ku

k

T p

M







все  параметры  которого приведены  в примере  2.4.  Определим передаточ-

ную функцию двигателя по управлению, полагая М = 0, 

3

2

я м

м

( )

.

k

W p

u

T T p

T p

p

Характеристическое уравнение имеет вид 

3

2

я м

м

0.

T T p

T p

p

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

102 

Предварительно запишем это уравнение в стандартной форме 

3

2

я

я м

1

1

0

p

p

p

T

T T

и составим матрицу Гурвица 

я

я м

1

0

0

1

1

0

0

0

0

T

H

T T

. 

Как видим,  det

0.

H

 Следовательно, двигатель постоянного тока с не-

зависимым  возбуждением,  выходной  переменной  которого  является  угол 

поворота, находится на границе устойчивости. 

4.3.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА 

Критерий сформулирован А.В. Михайловым в 1938 г., он базирует-

ся на принципе аргумента теории функций комплексной переменной. 

Для  анализа  устойчивости  системы  предлагается  исследовать  ха-

рактеристический  комплекс 

(

)

F j

,  который  получается  из  

характеристического полинома 

1

2

1

( )

n

n

n

F p

p

a p

a p

a



(4.16) 

заменой p на  j : 

1

1

(

)

(

)

(

)

.

n

n

n

F j

j

a

j

a



(4.17) 

Выделим в (4.17) вещественную и мнимую части, а также модуль и 

фазу: 

( )

(

)

( )

( )

( )

.

F

j

F

F

F

F j

R

jI

A

e

(4.18) 

При  конкретном  численном  значении  частоты  (

1

)  характери-

стический  комплекс  (4.18)  представляет  собой  комплексное  число 

4.3. Критерии устойчивости 

103 

1

,

F j

  которое  можно  изобразить  

на  плоскости  в  виде  вектора,  соеди-
няющего  начало  координат  с  точкой 

1

1

(

);

(

) .

F

F

R

jI

При изменении   от 0 до 

 конец 

вектора  F j

  выписывает  на  ком-

плексной  плоскости  некоторую  кри-

вую,  которую  называют  годографом 

Михайлова  (рис.  4.8).  Причем  начинается  годограф,  как  следует  из 
соотношения (4.17), в точке с координатами 

1

; 0 .

a j

Формулировка  критерия.  Для  устойчивости  линейной  системы 

необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении 

  от  0  до 

  начинался  на  вещественной  оси  в  точке 

1

a   и  проходил 

последовательно  против  часовой  стрелки  n  квадрантов  комплексной 

плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к   в n-м квадранте. 

Чтобы  доказать  критерий,  проанализируем,  как  связаны  корни  ха-

рактеристического  уравнения 

i

  с  видом  годографа  Михайлова.  По-

скольку полином (4.16) можно представить в виде произведения про-

стых сомножителей 

1

( )

(

)

(

),

n

F p

p

p



(4.19) 

характеристический комплекс (4.17) также принимает вид 

1

(

)

(

)

(

).

n

F j

j

j



(4.20) 

Его можно представить в форме 

1

( )

( )

1

(

)

( )

( )

.

n

j

j

n

F j

A

e

A

e



(4.21) 

Из выражений (4.18) и (4.21) следует, что 

1

( )

( ),

n

F

i

i

A

A

 (4.22) 

1

( )

( ).

n

F

i

i

 (4.23) 

Im

Re

1

a

(

)

A j

Re

1

a

(

)

A j

Im 

а

1

Re 

(

)

А j

Рис. 4.8. Пример годографа  

Михайлова 

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

104 

Если характеристическое уравнение системы содержит комплексно-

сопряженные  корни  с  нулевой  вещественной  частью,  то  при  опреде-
ленном значении частоты 

0

 один из сомножителей в (4.20) обра-

тится в нуль. Следовательно, 

( )

0

F

A

  и 

(

)

0.

F j

  В  случае  устой-

чивой  системы  корни  расположены  только  в  левой  полуплоскости 

плоскости  корней  и  не  могут  быть  «мнимыми»,  значит,  в  нуль  годо-

граф Михайлова не обращается. 

Определим  теперь  угол  поворота  вектора 

(

)

F j

  при  изменении 

частоты от 0 до 

. Предварительно рассмотрим отдельные сомножи-

тели выражения (4.20) и угол поворота соответствующего вектора. При 

этом выделим несколько вариантов корней. 

1. Корень характеристического уравнения вещественный и отрица-

тельный,  т.  е. 

,

0.

i

i

i

  Соответствующий  сомножитель  в 

(4.20)  имеет  вид 

.

i

i

F j

j

  Изобразим  этот  элементарный  век-

тор на комплексной плоскости; при изменении 

  от  0  до 

  вещест-

венная часть 

i

F j

 остается неизменной и равной 

,

i

 а мнимая часть 

возрастает до бесконечности (рис. 4.9). 

Следовательно,  устойчивому  вещественному  корню  соответствует 

угол поворота элементарного вектора 

2.

i

Аналогично можно определить угол поворота элементарного векто-

ра 

(

)

i

i

F j

j

  для  случая  вещественного  положительного  корня 

характеристического уравнения 

.

i

i

 Он будет равен 

2.

i

2.  Рассмотрим  теперь  пару  устойчивых  комплексно-cопряженных 

корней 

, 1

i i

i

i

j   и  соответствующий  им  угол  поворота  произве-

дения 

.

i

i

i

i

j

j

j

j

У этих двух векторов начальные фазы одинаковы по модулю 

0

(

),  

но имеют противоположные знаки. При изменении   от 0 до 

 один 

вектор  поворачивается  на  угол 

0

2,

i

  а  второй  –  на  угол 

1

0

2.

i

Суммарный  угол  поворота  для  пары  устойчивых  комплексно-

сопряженных корней равен 

 (рис. 4.10). 

Если комплексно-сопряженные корни имеют положительную веще-

ственную часть, то суммарный угол поворота равен 

.

4.3. Критерии устойчивости 

105 

Im

Re

i

j

Re

i

фаза

j

Im 

Фаза 

Re 

j

i

Рис. 4.9. Элементарный вектор, 

соответствующий устойчивому  

      вещественному корню 
 

Im

Re

i

0

0

i

i

Re

i

0

0

i

i

Im 

Re 

i

i

0

i

0

Рис. 4.10. Векторы, соответству-

ющие  устойчивым  комплексно- 

          сопряженным корням 

Таким образом, в устойчивой системе каждый из  n корней при из-

менении   от 0 до 

даст приращение фазы 

2,

i

 а общий угол 

поворота  F j

 согласно (4.23) равен 

2

,

n

 что и требовалось до-

казать. 

Пример  годографов  Михайлова  для  устойчивых  и  неустойчивых 

систем третьего порядка приведен на рис. 4.11. 

Im

Re

1

a

3

n

Re

система устойчивая

1

a

3

n

Im 

Re 

а

1 

Im

Re

1

a

1

a

3

n

Re

система неустойчивая

1

a

1

a

3

n

–

а

1 

Im 

Re 

а

1 

             а                                                      б 

Рис. 4.11. Годографы Михайлова для устойчивой (а)  

и неустойчивой (б) систем (n = 3) 

Условием границы устойчивости является обращение в нуль годо-

графа  Михайлова  при  некотором  значении  частоты 

0

.   Аналити-

чески это условие можно записать в виде 

0

0

(

)

0,

(

)

0.

F

F

R

I

(4.24) 

Здесь 

0

 – частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, 

которая находится на границе устойчивости.