Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19951
Скачиваний: 135
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
106
ПРИМЕР 4.5
Проверить устойчивость системы (рис. 4.12). Здесь
0
3
2
2
( )
2
2
1
W
p
p
p
p
.
Определим передаточную функцию
замкнутой системы
3
2
2
( )
2
2
3
y
W p
u
p
p
p
и запишем ее характеристический полином
3
2
( )
2
2
3.
F p
p
p
p
Перейдем к выражению для годографа Михайлова
3
2
(
)
2
2
3
F j
j
j
и представим его в форме
2
3
(
)
( )
( )
(3 2
)
(2
).
F
F
F j
R
jI
j
Для построения годографа Михайлова вычислим значения веществен-
ной и мнимой частей при конкретных значениях частоты и занесем их в
таблицу.
0
1
1,22
1,41
( )
F
R
3
1
0
–1
( )
F
I
0
1
0,61
0
По данным таблицы построим годограф Михайлова.
Как видим из рис. 4.13, он проходит
последовательно три квадранта, не обра-
щаясь в нуль и стремясь к бесконечности в
третьем квадранте. Следовательно, систе-
ма устойчива.
( )
o
W p
( )
o
W p
v
y
W
0
(p)
y
v
Рис. 4.12. Структурная схема
исследуемой системы
Im
Re
1
3
Re
3
Im
Re
–1
Рис. 4.13. Годограф Михайлова
для примера 4.5
4.3. Критерии устойчивости
107
ПРИМЕР 4.6
Проверить устойчивость системы (рис. 4.14). Данная система представ-
ляет собой упрощенную модель одного из сочленений руки робота-
манипулятора [43]. Исполнительным механизмом является двигатель по-
стоянного тока (см. пример 2.4), а соединение с рукой осуществляется че-
рез редуктор. На рис. 4.14 обозначено:
я
U – напряжение, подаваемое на якорь двигателя;
– угловая скорость вращения двигателя;
1
– угол поворота вала двигателя;
2
– угол поворота руки. При отсутствии возмущений взаимосвязь
между скоростью вращения двигателя и входным напряжением
я
U
оп-
ределяет передаточная функция (см. пример 2.8)
дв
2
я м
м
( )
1
k
W
p
T T p
T p
,
а угол поворота вала двигателя
1
связан с его угловой скоростью враще-
ния зависимостью
1
. Ей соответствует на схеме вторая передаточная
функция 1 p . Редуктор представляет собой безынерционное звено с пере-
даточной функцией
р
1
( )
W
p
r
, где r – передаточное отношение редук-
тора.
( )
W
p
1
p
( )
W p
1
2
U
( )
W
p
дв
1
p
( )
W p
р
1
2
U
я
двигатель
редуктор
W
дв
(p)
W
p
(p)
Двигатель
Редуктор
U
я
Рис. 4.14. Структурная схема руки робота
Проверим устойчивость системы при следующих значениях парамет-
ров передаточных функций:
дв
2
0, 6
( )
0,13
1, 43
1
W
p
p
p
,
р
1
( )
30
W
p
.
Определим общую передаточную функцию сочленения руки робота
2
2
я м
м
0, 02
( )
1
0,13
1, 43
1
k r
W p
T T p
T p
p
p
p
p
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
108
и запишем характеристический полином
2
( )
0,13
1, 43
1
.
F p
p
p
p
Выражение для годографа Михайлова
3
2
0,13
1, 43
F j
j
j
представим в форме
2
3
1, 43
0,13
.
F j
j
Поскольку при
0
вещественная и мнимая части
(
)
F j
одновре-
менно обращаются в нуль, годограф Михайлова начинается в начале коор-
динат. Это означает, что система находится на границе устойчивости.
4.3.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
На практике более широкое применение по сравнению с критерием
Михайлова получил критерий Н. Найквиста, который был разработан в
1932 г. для проверки устойчивости усилителей с отрицательной обрат-
ной связью, а затем обобщен на системы автоматического управления.
Возможно, именно этот результат послужил толчком к бурному разви-
тию частотного метода в теории автоматического управления.
Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с
отрицательной обратной связью (так называемой замкнутой системы)
по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной
функции амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой
системы.
Рассмотрим этот критерий для сис-
темы с единичной обратной связью
(рис. 4.15). Здесь
0
( )
W p – передаточная
функция устойчивой разомкнутой сис-
темы, которая в общем случае имеет вид
1
0
1
0
0
1
0
1
( )
( )
,
,
( )
m
m
m
m
n
n
n
B p
b p
b
p
b
W p
m
n
A p
p
a p
a
(4.25)
где
1
0
1
( )
n
n
n
A
p
p
a p
a
– ее характеристический полином.
( )
o
W p
( )
o
W p
v
y
W
0
(p)
y
v
Рис. 4.15. Структурная схема
замкнутой системы
4.3. Критерии устойчивости
109
Определим передаточную функцию системы, изображенной на
рис. 4.15:
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
,
( )
1
( )
( )
( )
W
p
B
p
B p
W p
A p
W
p
A p
B
p
(4.26)
где
0
0
( )
( )
( )
A p
A p
B p – характеристический полином замкнутой
системы.
Предварительно введем вспомогательную передаточную функцию
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
( ) 1
( )
.
( )
( )
A p
B
p
A p
W p
W
p
A p
A p
(4.27)
Как видим, ее числитель представляет собой характеристический
полином замкнутой системы, а знаменатель – характеристический по-
лином разомкнутой системы. Так как
0
0
deg
( ) deg
( ),
B p
A p в выражении
для ( )
A p
порядок суммы полиномов равен
0
deg
( )
.
A p
n Следова-
тельно, во вспомогательной передаточной функции
( )
W p
полиномы
числителя и знаменателя имеют одинаковый порядок, равный n.
Получим выражение для вспомогательной частотной характеристи-
ки на основе выражения (4.27):
0
(
)
(
)
.
(
)
A j
W j
A
j
(4.28)
Рассмотрим теперь результирующий угол поворота вектора W j
при изменении от 0 до , используя те же соотношения, что и при
доказательстве критерия Михайлова. Если замкнутая система устойчи-
вая, то общее приращение фазы числителя (4.28) будет
( )
( / 2).
n
(4.29)
При устойчивой разомкнутой системе фаза знаменателя определя-
ется соотношением
0
( )
( / 2).
n
(4.30)
Результирующий угол поворота вектора
(
)
W j
будет равен разно-
сти фаз (4.29) и (4.30), т. е.
0
( )
( )
( )
0.
(4.31)
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
110
Таким образом, для устойчивости замкнутой системы при устойчи-
вой разомкнутой должно выполняться соотношение (4.31). Это свойст-
во имеет простую геометрическую интерпретацию: вспомогательная
частотная характеристика не должна охватывать начало координат
комплексной плоскости. Так как (
)
W j
отличается от
0
(
)
W j
на еди-
ницу, можно строить амплитудно-фазовую характеристику разомкну-
той системы, что значительно проще.
Формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкну-
той системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая ха-
рактеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от 0
до не охватывала точку с координатами
1; 0 .
j
Примеры расположения частотных характеристик, соответствую-
щих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, приведены на
рис. 4.16.
0
(
)
W
j
Im
Im
Re
Re
1
(
)
W j
2
(
)
W
j
1
1
0
(
)
W
j
Re
Re
1
2
1
(
)
W j
2
(
)
W
j
Im
Re
Im
Re
2
1
2
–1
–1
Рис. 4.16. Иллюстрация критерия Найквиста:
1 – устойчивые, 2 – неустойчивая замкнутые системы
Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не озна-
чает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации
следует использовать видоизмененную формулировку критерия Найк-
виста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда
амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой сис-
темы при изменении
от 0 до
охватывает точку с координатами
1; 0
j
в положительном направлении
2
r
раз, где r – число корней
характеристического уравнения разомкнутой системы с положитель-
ной вещественной частью [6].