Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19952
Скачиваний: 135
4.3. Критерии устойчивости
111
Критерий Найквиста можно также применять, если разомкнутая
система имеет в своем составе интегратор, т. е. находится на границе
устойчивости. В этом случае ее передаточную функцию можно запи-
сать в виде
0
0
0
( )
( )
,
( )
B
p
W
p
p A p
(4.32)
где
0
( )
A p – характеристический полином устойчивой системы.
Амплитудно-фазовая
характеристика
разомкнутой системы
0
(
)
W j
будет иметь
неопределенность при
0 :
при этом ам-
плитуда (0)
,
A
а фаза скачком изменя-
ется на 180 . Для получения определенно-
сти характеристику при построении услов-
но дополняют полуокружностью бесконеч-
но большого радиуса так, чтобы она начи-
налась на положительной вещественной
полуоси (рис. 4.17). Такое дополнение ха-
рактеристики разомкнутой системы позво-
ляет использовать исходную формулиров-
ку критерия Найквиста.
Сформулируем теперь условие границы устойчивости. Замкнутая
система будет находиться на границе устойчивости, если при некото-
рой частоте
0
амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы проходит через точку с координатами 1; 0 .
j
Аналитически это условие можно записать в виде
0
0
1
(
)
0.
W j
(4.33)
Пример расположения для этой ситуации амплитудно-фазовой ха-
рактеристики разомкнутой системы на комплексной плоскости пред-
ставлен на рис. 4.18.
Отметим в заключение, что критерий Найквиста можно применять
и в общем случае, когда система содержит неединичную отрицатель-
ную обратную связь (рис. 4.19).
0
(
)
W
j
Im
Re
1
0
(
)
W
j
Re
Im
Re
–1
0
(
)
W
j
Рис. 4.17. Амплитудно-фа-
зовая характеристика ра-
зомкнутой системы с ин-
тегратором
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
112
0
(
)
W
j
Im
Re
1
0
(
)
W
j
Re
Im
Re
–1
0
(
)
W
j
Рис. 4.18. Иллюстрация
границы устойчивости
1
( )
W p
2
( )
W p
1
( )
W p
2
( )
W p
v
y
Рис. 4.19. Структурная схема
системы общего вида
Предварительно необходимо получить передаточную функцию ра-
зомкнутой системы, для чего можно размыкать связь произвольным
образом (рис. 4.19), а вход и выход системы следует рассматривать в
месте разрыва. В результате искомая передаточная функция будет
иметь вид
0
1
2
( )
( )
( ).
W p
W p W p
Далее для анализа устойчивости необходимо использовать соответ-
ствующую формулировку критерия.
ПРИМЕР 4.7
Проверить устойчивость системы (рис. 4.20), с помощью критерия
Найквиста.
2
5
3 1
p p
2
1
p
v
y
2
5
3 1
p p
2
1
p
Рис. 4.20. Структурная схема системы
управления
Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию
разомкнутой системы
0
2
3
2
2
5
10
( )
.
1
3
1
4
4
1
W
p
p
p
p
p
p
p
4.3. Критерии устойчивости
113
Согласно критерию Гурвица разомкнутая система устойчива. Перейдем
теперь к выражению для амплитудно-фазовой частотной характеристики
0
2
3
10
(
)
(1 4
)
(4
)
W
j
j
и выделим ее вещественную и мнимую части:
2
3
0
2 2
3 2
2 2
3 2
10(1 4
)
10(4
)
(
)
.
(1 4
)
(4
)
(1 4
)
(4
)
W
j
j
Im
Re
10
16 3
2 3
Re
10
16 3
2 3
Re
Im
Рис. 4.21. Амплитудно-фазовая характеристика
разомкнутой системы
Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкну-
той системы, изменяя от 0 до
. Ниже приведены значения веществен-
ной и мнимой частей для отдельных точек.
0
0,5
2
0
Im
(
)
W
j
0
16 3
0
0
0
Re
(
)
W
j
10
0
2 3
0
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы (рис. 4.21) не
охватывает точку с координатами
1; 0 .
j
Следовательно, замкнутая сис-
тема устойчивая.
4.3.4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФОРМА
КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА
Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использо-
вать также логарифмические частотные характеристики разомкнутой
системы.
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
114
Формулировка критерия Найквиста. Для устойчивости замкну-
той системы необходимо и достаточно, чтобы на всех частотах,
где ЛАЧХ разомкнутой системы положительная
( )
0 ,
L
фазовый
сдвиг не достигал значения 180 или достигал его четное число раз
(рис. 4.22).
lg
c
( )
L
( )
L, дБ
lg
дек
lg
c
( )
L
( )
lg ω, дек.
L, дБ
L(ω
)
φ(ω)
–
π
–
φ
lg ω
c
Риc. 4.22. Логарифмические частотные
характеристики, иллюстрирующие кри-
терий Найквиста
Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если
на той же частоте
c
, где ЛАЧХ разомкнутой системы обращается в
нуль
c
(
) 0 ,
L
значение фазовой частотной характеристики равно
c
(
)
180 .
ПРИМЕР 4.8
Проверить с помощью критерия Найквиста устойчивость системы фа-
зовой автоподстройки частоты, упрощенная структурная схема которой
приведена на рис. 4.23 [22, 45]. На рисунке:
ПГ – подстраиваемый генератор, частоту
которого нужно стабили-
зировать;
ФНЧ – фильтр нижних частот;
ФД – фазовый детектор;
0
– эталонная частота;
– разность фаз.
4.3. Критерии устойчивости
115
Параметры передаточных функций соответствующих устройств сле-
дующие:
1
0,1
T
с,
2
0, 04
T
с,
3
0, 005
T
с,
1 2 3
200
k
k k k
с
–1
.
2
2
3
(
1)
1
k T p
T p
1
p
0
1
1
1
k
T p
3
k
2
2
3
(
1)
1
k T p
T p
1
p
0
1
1
1
k
T p
ФД
ФНЧ
ПГ
3
k
Рис. 4.23. Структурная схема системы фазовой автопод-
стройки частоты
Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию разомк-
нутой системы
2
p
1
3
(
1)
( )
(
1)(
1)
k T p
W
p
p T p
T p
.
Подставляя вместо параметров их численные значения, получим
p
3
2
200(0, 04
1)
( )
0, 0005
0,105
p
W
p
p
p
p
.
Перейдем теперь к частотной характеристике
p
2
2
200(0, 04
1)
(
)
0,105
(1 0, 0005
)
j
W
j
j
или
2
4
3
p
4
2
2 2
200 ( 0, 065
0, 00 002
)
(
0, 00 475
)
(
)
0, 011 025
(1 0, 0005
)
j
W
j
.
Запишем теперь выражения для амплитудно-частотной характеристики:
3 2
2 2
p
3
2 2
200 ( 0, 065
0, 00 002
)
(1 0, 00 475
)
( )
0, 011 025
(1 0, 0005
)
A
и фазочастотной характеристики:
2
p
3
1 0, 00 475
( )
arctg
0, 065
0, 00002
.