Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19955
Скачиваний: 135
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
116
В логарифмическом масштабе амплитудно-частотная характеристика
имеет вид
p
3 2
2 2
3
2 2
( )
20 lg 200 20 lg
20 lg ( 0, 065
0, 00 002
)
(1 0, 00 475
)
20 lg 0, 011 025
(1 0, 0005
)
.
L
На рис. 4.24 представлены логарифмические амплитудно-частотная и
фазочастотная характеристики разомкнутой системы.
lg
c
( )
L
( )
L, дБ
lg
дек
lg
c
( )
L
( )
L, дБ
lg, дек
( )
L
( )
lg(
)
c
Рис. 4.24. Логарифмические характеристики
разомкнутой системы
Так как логарифмическая амплитудно-частотная характеристика пере-
секает ось абсцисс позже, чем фазовая частотная характеристика достигает
значения
( )
p
, то замкнутая система будет неустойчива.
4.4. ОБЛАСТИ И ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
4.4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Поскольку математическая модель никогда не бывает тождественна
физической системе, а при ее составлении делается ряд допущений,
параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных
4.4. Области и запасы устойчивости
117
(номинальных). Кроме того, с течением времени параметры могут из-
меняться в некотором диапазоне, но для нормального функционирова-
ния системы свойство устойчивости должно сохраняться, т. е. она
должна обладать определенным запасом устойчивости.
Введем понятие запаса устойчивости для системы, модель которой
имеет вид
,
,
x
Ax
Bu
y
Cx
,
,
,
.
n
m
m
x
R
u
R
y
R
n
m
Запишем характеристическое уравнение системы
det(
)
0,
pI
A
оно имеет n корней
( ),
1, .
i
i
A
i
n
Определение: областью устойчиво-
сти по параметрам будем называть мно-
жество матриц A, для которых выполня-
ется общее условие устойчивости линей-
ных систем, т. е.
Re
( )
0,
1, .
i
A
i
n
Совокупность всех этих матриц A ото-
бражается в некоторую область на плос-
кости параметров (рис. 4.25).
Определение: критическими (граничными) будем называть такие
значения матриц
гр
,
A
при которых система находится на границе ус-
тойчивости.
В реальной ситуации часто требуется оценить влияние одного па-
раметра системы (например, a) на ее устойчивость, поэтому можно
говорить о «левом» и «правом» граничных значениях,
1гр
a
и
2гр
a
соответственно (рис. 4.26).
1гр
a
н
a
2гр
a
a
Рис. 4.26. Пример граничных значений
1
a
n
a
1
a
n
a
a
n
a
1
Рис. 4.25. Иллюстрация
области устойчивости сис-
темы
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
118
Определение: запасом устойчивости называется диапазон значе-
ний параметра от номинального до граничного. Например,
н
1гр
a
a
или
н
2гр
.
a
a
4.4.2. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
На основе критерия Найквиста можно получить частотные оценки
запаса устойчивости, которые характеризуют удаление амплитудно-
фазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки
1; 0 .
j
Запас устойчивости по модулю
(h) показывает, насколько можно уве-
личить модуль АФХ разомкнутой
системы без потери устойчивости
замкнутой (рис. 4.27).
Запас устойчивости по фазе ( )
определяется на частоте
c
, где
0
c
(
)
1.
W j
Он показывает, насколько
можно изменить фазу АФХ разомкну-
той системы без потери устойчивости
замкнутой.
Аналогичные запасы устойчивости можно определить и по лога-
рифмическим характеристикам разомкнутой системы. В этом случае
запас устойчивости по модулю будем обозначать
,
L единица измере-
ния – децибел. Он показывает, во сколько раз можно увеличить коэф-
фициент усиления системы без потери устойчивости. Определяется
L на частоте, где фазовая частотная характеристика достигает значе-
ния
(рис. 4.28).
Запас устойчивости по фазе будем обозначать
,
он определяется
на частоте
c
, где
c
(
)
0,
L
и характеризует отклонение от
, т. е.
c
c
(
)
(
) .
(4.34)
0
(
)
W
j
Im
Re
1
0
(
)
W
j
Re
1
h
Re
Im
0
(
)
W
j
h
–1
1
Рис. 4.27. Определение запасов
устойчивости по АФХ
4.4. Области и запасы устойчивости
119
( )
L
( )
L
L, дБ
lg
дек
( )
L
( )
L, дБ
lg ω, дек.
( )
L(ω)
L
Риc. 4.28. Определение запасов устойчивости
по логарифмическим характеристикам
Опытом настроек установлено, что для нормальной работы многих
систем управления необходимо обеспечить следующие запасы устой-
чивости:
8 дБ,
50 .
L
(4.35)
Эти значения получены эмпирическим путем. Исходя из технологи-
ческих требований для некоторых систем могут потребоваться боль-
шие или меньшие запасы устойчивости.
4.4.3. КОРНЕВЫЕ ОЦЕНКИ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
Оценить запас устойчивости системы можно также по ее корневому
портрету.
На рис. 4.29 приведены графики переходных процессов двух сис-
тем. Видно, что система 2 обладает меньшим запасом устойчивости,
поскольку склонность к неустойчивости выражается в большой коле-
бательности процессов.
В свою очередь, характер процессов в системе определяется ее по-
люсами согласно выражению (4.12), причем колебания будут возни-
кать, если характеристическое уравнение содержит комплексно-
сопряженные корни:
,
1
,
i i
i
i
j
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
120
где вещественная часть
i
определяет скорость затухания, а мнимая
часть корней
i
– частоту колебаний.
y
t
1
2
1
2
t
Риc. 4.29. Примеры процессов в системах
с разным запасом устойчивости
Паре корней с самым «широким» секто-
ром (рис. 4.30) будет соответствовать со-
ставляющая процесса с наибольшими коле-
баниями, поэтому в качестве оценки запаса
устойчивости можно рассматривать отно-
шение
.
i
i
(4.36)
Отметим, что значение
может изме-
няться в диапазоне
0;
. Чем меньше
(больше величина мнимой части корня
i
или меньше вещественная часть), тем ближе будет система к границе
устойчивости. В случае, когда
0,
она находится на границе устой-
чивости. При
система будет иметь бесконечный запас устойчи-
вости.
Таким образом, корневая оценка запаса устойчивости характери-
зует, насколько можно изменять корни характеристического уравнения
без потери системой устойчивости.
Im
Re
i
i
Re
i
i
Im
Re
i
i
Рис. 4.30. Пример опре-
деления запаса устойчи-
вости по корневому
портрету