Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

146 

Таким  образом,  с  помощью  приведенных  оценок  можно  прибли-

женно (без вычислений) оценить качество переходного процесса в сис-

теме  по  известной  вещественной  частотной  характеристике.  Более 

подробно  частотный  способ  оценки  качества  переходного  процесса 

описан в работах В.В. Солодовникова, например в [38]. 

5.3.3. О НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ  

ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ 

Используя  частотные  характеристики,  можно  оценить  также  вид 

переходного процесса на начальном участке. Рассмотрим этот способ 

для системы с передаточной функцией общего вида 

1

1

0

1

1

...

( )

.

...

m

m

m

m

n

n

n

b p

b

p

b

W p

p

a p

a

Заменив p на 

,

j

 перейдем к ее частотной характеристике 

1

1

0

1

1

(

)

(

)

...

(

)

.

(

)

(

)

...

m

m

m

m

n

n

n

b

j

b

j

b

W j

j

a

j

a

 (5.24) 

Согласно  оценке  2  начальное  значение  переходной  функции  соот-

ветствует конечному значению вещественной частотной характеристи-

ки. Аналогичная взаимосвязь существует между переходной и ампли-

тудно-фазовой  характеристиками,  поэтому  исследуем  АФХ  в  области 

высоких частот, для чего в выражении (5.24) устремим 

.

 В этом 

случае доминирующими слагаемыми в числителе и знаменателе будут 

старшие степени полиномов от  (

),

j

 и в пределе (5.24) вырождается в 

соотношение 

(

)

(

)

.

(

)

m

m

n

b

j

W j

j

 (5.25) 

Как  видим,  частотную  характеристику  (5.25)  имеет  интегратор 

(

)-го

n

m

  порядка,  следовательно,  и  начальный  участок  переходного 

процесса соответствует интегратору  (

)-го

n

m

 порядка. 

5.4. Корневой метод анализа 

147 

5.4. КОРНЕВОЙ МЕТОД АНАЛИЗА 

Данный  метод  анализа,  в  отличие  от  частотного,  позволяет  иссле-

довать реакцию системы на начальные условия (первое слагаемое ре-

шения (5.2)) и может быть применен в случае как одноканальных, так 

и многоканальных систем. 

Рассмотрим одноканальные системы вида 

1

1

,

,

,

,

.

n

x

Ax

Bu

x

R

u

R

y

Cx

y

R



(5.26) 

Общая реакция на входной сигнал при ненулевых начальных усло-

виях описывается соотношением 

(

)

0

( )

(0)

( )

t

t

t

y t

Ce

x

C e

Bu

d  

и является частным случаем (5.2). 

Нас интересует первая составляющая правой части уравнения, ко-

торая представляет собой линейную комбинацию мод (2.37) 

1

( )

,

i

n

t

i

i

i

x t

c e

где 

i

 – корни характеристического уравнения системы  (

1,

, ).

i

n



Отметим, что каждая мода эквивалентна решению системы первого 

или  второго  (если  корни  комплексно-сопряженные)  порядка,  а  ско-

рость  затухания  соответствующей  экспоненты  зависит  от  численного 
значения 

.

i

  Следовательно,  на  основе  корней  характеристического 

уравнения системы можно оценить граничные составляющие ее пере-

ходного процесса: самую быструю моду, самую колебательную и т.п. 

5.4.1. КОРНЕВЫЕ ОЦЕНКИ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА 

Рассмотрим характеристическое уравнение системы 

1

1

( )

0

n

n

n

A p

p

a p

a



Глава 5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

148 

с  корнями 

1

,

,

,

n



  которые  изобразим 

на комплексной плоскости (рис. 5.23). 

Наиболее удаленные от мнимой оси кор-

ни (имеющие  max Re

i

) определяют моды, 

затухающие  быстрее  всего.  Корни  характе-

ристического  уравнения,  расположенные 
ближе  всего  к  мнимой  оси  (с  min Re

i

), 

дают особенно медленно затухающие моды, 

которые  и  определяют  длительность  пере-

ходного процесса. 

Таким образом, корневой оценкой быст-

родействия может служить расстояние до мнимой оси от ближайшего 

к ней корня, т. е. 

min Re

,

1, .

i

i

i

n   

(5.27) 

Приближенно оценить время переходного процесса можно по соот-

ношению 

0

1

1

ln

,

n

t

(5.28) 

где 

0

 – относительная статическая ошибка. 

В случае, когда статическая ошибка 

0

0, 05,  можно пользоваться 

оценкой  

3

.

n

t

Колебательные процессы в системе будут наблюдаться только в том 

случае,  когда  характеристическое  уравнение  содержит  комплексно-
сопряженные корни 

,

1

.

i i

i

i

j

  Склонность  системы  к  колеба-

ниям характеризует оценка 

max

,

i

i

i

(5.29) 

которую называют колебательностью. 
 

Re 

i

i 

Im

Риc. 5.23. Пример корне-

вого портрета системы 

5.5. Анализ процессов в системах низкого порядка 

149 

Таким образом, чем больше величина  ,  тем более колебательный 

характер будут иметь переходные процессы и наоборот. В пределе при 

 полюса системы будут «чисто» мнимыми и в ней будут наблю-

даться переходные процессы в виде незатухающих колебаний. В слу-

чае,  когда 

0,

  все  корни  характеристического  уравнения  будут  ве-

щественными и в системе будут возникать апериодические процессы. 

Эмпирическим  путем  установлена  взаимосвязь  между  колебательно-

стью и перерегулированием в виде соотношения 

100exp(

/ ) %.

Отметим,  что  при 

1,57

  значение  перерегулирования  в  системе 

составит 

30 %.

5.5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ 

НИЗКОГО ПОРЯДКА 

Поведение  многих  реально  существующих  объектов  и  систем 

управления  можно  описать  уравнениями  не  выше  третьего  порядка, 

поэтому важно установить взаимосвязь между параметрами математи-

ческой модели и качеством протекающих в системах переходных про-

цессов. 

5.5.1. СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 

Свойства  системы  первого  порядка,  поведение  которой  описывает 

передаточная функция вида 

( )

,

1

k

W p

Tp

 (5.30) 

определяют  два  параметра:  коэффициент  усиления  k  и  постоянная 

времени T. 

Реакция  системы  на  постоянное  входное  воздействие 

const

v

представляет собой экспоненту, скорость затухания которой зависит от 
T, а установившееся значение (статика) для выходной переменной со-

ответствует выражению 

0

(0)

.

y

W

v

kv  

(5.31) 

Глава 5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

150 

Напомним, что переходный процесс можно считать закончившимся, 

когда  выходная  переменная  достигает  установившегося  значения  с 

точностью не менее 5 % (рис. 5.24). 

y

0

y

T

3T

t

0

y

3T

Риc. 5.24. Переходный процесс в системе  

первого порядка 

Так  как  система  (5.30)  имеет  только  один  корень  характерис-

тического  уравнения 

1

,

T   то 

1

,

T   а  время  переходного  про-

цесса в соответствии с (5.28) можно считать равным 

3 .

n

t

T  

 (5.32) 

Таким образом, коэффициент усиления k определяет установившее-

ся  значение  переходных  процессов  в  системе  первого  порядка,  а  по-
стоянная времени T – их длительность. 

5.5.2. СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 

Рассмотрим теперь свойства системы второго порядка с передаточ-

ной функцией 

2

2

( )

.

2

1

k

W p

T p

dTp

 (5.33) 

Переходные процессы в ней зависят от трех параметров: коэффици-

ента  усиления  k,  который  определяет  установившееся  значение  для 

выходной  переменной  в  соответствии  с  выражением  (5.24);  постоян-

ной времени T и коэффициента демпфирования d. 

В литературе [6, 40] приводятся нормированные переходные харак-

теристики  в  зависимости  от  d.  Качественный  вид  их  представлен  на 

рис. 5.25.