Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19969
Скачиваний: 135
5.5. Анализ процессов в системах низкого порядка
151
Время переходного процесса в
системе зависит не только от посто-
янной времени T, но и от коэффици-
ента демпфирования d, поэтому для
его приближенной оценки соотно-
шением (5.32) можно пользоваться в
случае, когда d изменяется в диапа-
зоне 0,5
1.
d
Выражение для корней характе-
ристического уравнения системы
2
1, 2
1
d
d
T
позволяет определить колебательность (при
1
d
) в виде
2
1
( ),
d
d
d
а следовательно, и ее перерегулирование. При
1
d
процессы в систе-
ме имеют апериодический характер, при
0
d
установятся незату-
хающие колебания.
Отметим, что коэффициент усиления k, как и в случае систем
первого порядка, определяет установившееся значение переходных
процессов. Однако их вид и длительность зависят не только от посто-
янной времени, но и от коэффициента демпфирования.
5.5.3. СИСТЕМА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Поведение системы третьего порядка описывает передаточная
функция
3
3
2
2
( )
,
1
k
W p
T p
AT p
BTp
(5.34)
т. е. переходные процессы в ней определяют уже четыре параметра:
k, T, A и B.
y
t
0, 3
d
0,8
d
1,5
d
0, 3
d
0,8
d
1,5
d
d = 0,3
d = 0,8
d = 1,5
t
y
Риc. 5.25. Переходные процессы
в системе второго порядка
Глава 5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
152
Установившееся значение для выходной переменной соответствует
выражению (5.31) и зависит только от коэффициента усиления k,
инерционность процессов зависит от T, а колебательные свойства сис-
темы определяются параметрами A и B. Для исследования этой зави-
симости используется диаграмма И.А. Вышнеградского [6], получен-
ная им в 1876 г. на основе характеристического уравнения
3
3
2
2
1 0.
T p
AT p
BTp
(5.35)
Поскольку постоянная времени не влияет на колебательность про-
цессов, перейдем к нормированному характеристическому уравнению
заменой в (5.35) оператора p новым оператором q Tp :
3
2
1 0.
q
Aq
Bq
(5.36)
Параметры A и B, которые используются для описания системы
третьего порядка, носят название параметров Вышнеградского.
Кроме колебательности они определяют устойчивость системы, кото-
рая будет иметь место при выполнении условия
1,
AB
что соответст-
вует критерию Гурвица.
Введем в рассмотрение область значений параметров А и В
(рис. 5.26) и нанесем границу устойчивости,
1.
AB
Разобьем ее на
подобласти с различным распределением корней характеристического
уравнения (5.36), а следовательно, и видом процессов.
Re
Re
Re
Im
Im
Im
0
1
2
3
4
5
6
7
7
6
5
4
3
2
1
A
B
2
1
3
Граница устойчивости
Re
Re
Re
1
2
3
1
2
B
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7 A
Граница устойчивости
Im
Re
Re
Im
Рис. 5.26. Диаграмма Вышнеградского:
1–3 – области распределения корней
5.5. Анализ процессов в системах низкого порядка
153
Характерный вид переходных процессов, соответствующих каж-
дой подобласти, показан на рис. 5.27.
y
t
t
y
y
t
t
y
а
б
y
t
y
t
в
Рис. 5.27. Примеры процессов в системах:
а – с вещественными корнями; б – с доминирующей парой комплексных
корней; в – с доминирующим вещественным корнем
Так как при всех значениях параметров A и B из области 1 корни
характеристического уравнения (5.36) будут вещественными, то и про-
цесс будет иметь апериодический характер (рис. 5.27, а).
Если параметры A и B выбраны в области 2, где ближайшей к
мнимой оси будет пара комплексно-сопряженных корней, то им соот-
ветствуют колебательные процессы (рис. 5.27, б). В случае, когда ве-
щественный корень располагается ближе к мнимой оси, чем пара
комплексно-сопряженных (область 3), колебательная составляющая
затухает быстрее и процессы будут иметь вид, представленный на
рис. 5.27, в.
Глава 5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
154
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе рассмотрены основные способы оценки вида переход-
ных процессов по динамическим характеристикам систем. Точность
анализа зависит не только от применяемых оценок, но и от точности
составления математической модели.
Несмотря на то что с помощью современных пакетов прикладных
программ для анализа и моделирования динамических систем мож-
но на основе дифференциальных уравнений получить требуемые
переходные характеристики, методы качественной оценки процес-
сов не потеряли своей актуальности. Они позволяют сравнивать пе-
реходные процессы в различных системах, оценивать влияние пара-
метров на их свойства, а также использовать при синтезе систем
управления.
При исследовании свойств реальной системы решающее значение
имеет эксперимент, в результате которого может возникнуть необхо-
димость уточнения исходной математической модели.
Таким образом, только рациональное сочетание оценок по динами-
ческим характеристикам, экспериментальных данных и прямого расче-
та переходного процесса средствами вычислительной техники дает
надежный результат при проектировании реальных систем.
З А Д А Ч И
5.1. Определить полную статическую ошибку в системе, структур-
ная схема которой имеет вид, показанный на рис. 5.28.
3
k
p
( )
M t
1
1
1
k
T p
2
2
1
k
T p
3
k
p
v
y
u
( )
M t
1
1
1
k
T p
2
2
1
k
T p
Рис. 5.28. Структурная схема системы к задаче 5.1
Задачи
155
5.2. Определить относительную статическую и скоростную ошибки
при
5
v
t
для системы, изображенной на рис. 5.29.
4
p
( )
M t
1
p
4
p
v
y
( )
M t
1
p
2
Рис. 5.29. Структурная схема системы к задаче 5.2
5.3. Определить полную статическую ошибку в системе (рис. 5.30)
для следующих значений передаточной функции:
а)
1
2
2
2(0,5
1)
0, 25
( )
,
( )
4
1
0, 02
0, 4
1
p
W p
W
p
p
p
p
;
б)
1
2
2
25
1
( )
,
( )
(2
1)
3
4
1
W p
W
p
p
p
p
p
;
в)
1
2
2
0, 25
1
5
( )
,
( )
0,1
1
(0, 2
0,1
1)
p
W p
W
p
p
p
p
p
.
1
( )
W p
2
( )
W p
( )
M t
1
( )
W p
2
( )
W p
v
y
( )
M t
W
1
(p)
W
2
(p)
Рис. 5.30. Структурная схема системы
к задаче 5.3
5.4. Определить скоростную ошибку системы фазовой автопод-
стройки частоты из примера 4.8, структурная схема которой показана
на рис. 5.31. Значения параметров следующие:
1
0,1 с;
T
2
0,04 с;
T
3
0,005 с;
T
1
1 2 3
200 с
K k k k
.