Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

166 

Желаемое  уравнение  для  замкнутой  системы,  соответствующее  (6.6), 

запишем как 

*

( )

( ) ( ).

y p

W p v p  

(6.8) 

Приравнивая  правые  части  выражений  (6.7)  и  (6.8),  определим 

«точное» управляющее воздействие 

1

1

0

*

0

( )

( )

( ) ( )

( )

( ).

u p

W

p W p v p

W

p M p  

 (6.9) 

Если  удастся  реализовать  закон  управления  (6.9),  то  поведение 

замкнутой системы будет точно соответствовать желаемой передаточ-

ной функции (6.6). 

Поскольку для реального объекта ресурс управления всегда ограни-

чен, задача синтеза будет разрешима при выполнении первого условия 

1

1

0

*

*

( )

( ) ( )

( )

( ) ,

u

W

p W p v p

W

p M p

(6.10) 

которое и называется ресурсным ограничением. 

К сожалению, на практике реализовать управление (6.9) невозмож-

но, так как закон изменения возмущения 

( )

M t

 неизвестен, кроме гра-

ниц его изменения, которые и следует подставить для проверки в со-

отношение (6.10).  

6.3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ  «ОБРАТНОГО»  ОБЪЕКТА 

Это  условие  также  предполагает  исследование  свойств  объекта. 

Изобразим  структурную  схему,  соответствующую  выражению  для 

«точного»  управляющего  воздействия  (6.9).  Как  видим  из  рис.  6.3, 

«точный»  регулятор  включает  в  себя  желаемую  передаточную  функ-
цию  системы  и  обратную  модель  объекта.  Поскольку 

*

( )

W p   всегда 

имеет полюса с отрицательной вещественной частью, то устойчивость 

«точного»  регулятора  определяется  устойчивостью  обратной  модели 

объекта. 

Отсюда следует второе условие разрешимости: задача синтеза бу-

дет иметь точное решение, если обратная модель объекта (6.3) 

1

0

( )

W

p  

устойчива, что соответствует требованию 

Re

( )

0

0.

B p

(6.11) 

6.3. Условия разрешимости задачи синтеза 

167 

*

( )

W p

( )

M t

1

0

( )

W

p

*

( )

W p

v

u

( )

M t

1

0

( )

W

p

( )

W p  

1

0

( )

W

p  

M(t) 

u 

v 

Рис. 6.3. Структурная интерпретация  

«точного» управления 

Для  разрешимости  задачи  синтеза  необходимо,  чтобы  все  «нули» 

передаточной функции объекта (корни полинома  ( )

B p ) располагались 

в левой полуплоскости плоскости корней. 

ПРИМЕР  6.1 

Рассмотрим проявление этого условия (рис. 6.4). На рисунке  k – коэф-

фициент  усиления  регулятора; 

0

( )

( )

( )

W

p

B p

A p   –  передаточная  функ-

ция объекта управления. 

0

( )

W p

0

( )

W p

v

y

k

W

0

(p) 

Рис. 6.4. Структурная схема системы  

к примеру 6.1

Запишем характеристическое уравнение системы  

( )

( )

0

A p

kB p

. 

Для уменьшения статической ошибки будем увеличивать коэффициент 

усиления  регулятора.  В  пределе  при  k

  получим  вырожденную  сис-

тему, характеристическое уравнение которой принимает вид 

( )

0,

B p

и ее устойчивость определяют «нули» передаточной функции объекта. Та-

кое «вырождение» справедливо, однако, при конечных, хотя и как угодно 

больших, значениях оператора 

p

, и при полном исследовании характери-

стического уравнения нужно учитывать и «быстрые» корни. 

Таким образом, (6.11) является необходимым условием устойчивости 

вырожденной системы и одновременно условием разрешимости задачи 

синтеза. Понятно, что для устойчивости замкнутой системы нужно ана-

лизировать все корни исходного характеристического уравнения. 

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

168 

6.3.3. УПРАВЛЯЕМОСТЬ 

Понятие  управляемости    используется  при  проверке  условий  раз-

решимости  задачи  синтеза  для  линейных  систем,  поведение  которых 
описывают уравнения состояния. 

Рассмотрим  условие  управляемости  для  общего  класса  объектов 

вида 

,

,

,

,

.

n

m

m

x

Ax

Bu

x

R

u

R

y

Cx

y

R



(6.12) 

Объект  (6.12)  называется  управляемым,  если  существует  ограни-

ченное  управляющее  воздействие  ( ),

u t

  с  помощью  которого  можно 

перевести его из начального состояния  (0)

x

 в заданное конечное  ( )

x T

за конечное время T. 

Проверяется это условие с помощью критерия управляемости, его 

формулировку приведем без доказательства [2, 7]. Объект (6.12) будет 
управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемости 

1

,  

,

,

n

U

B AB

A

B



 (6.13) 

имеет полный ранг. 

Так  как  матрица  U  имеет  n  строк  и  n m   столбцов,  то  критерий 

управляемости записывается в виде 

1

,

,

,

.

n

r U

r B AB

A

B

n



(6.14) 

Определить,  имеет  ли  матрица  полный  ранг,  можно  по  соотно-

шению 

det

0

T

UU

, 

(6.15) 

которое легко проверить, например, с помощью пакета Matlab. 

В  случае  одноканального  объекта (когда 

1

m

)  матрица  управляе-

мости будет квадратной и критерий (6.14) принимает форму 

det

0.

U

 (6.16) 

6.3. Условия разрешимости задачи синтеза 

169 

Отметим,  что  задача  синтеза  будет  иметь  решение,  если  объект 

управляем, т.е. условие управляемости является условием разрешимо-

сти задачи синтеза. 

Однако  невыполнение  условия  (6.14)  еще  не  означает,  что  такой 

объект  нельзя  стабилизировать.  В  случае,  когда  r U

n   и  объект 

(6.12)  не  полностью  управляем,  с  помощью  специального  невырож-

денного преобразования переменных 

1

1

,

det

0

z

M x

M

его описание можно привести к канонической форме  

1

11 1

12 2

1

2

22 2

1 1

2 2

,

,

.

z

A z

A z

B u

z

A z

y

C z

C z




(6.17) 

Здесь переменные 

2

z  характеризуют автономную часть объекта, назы-

ваемую неуправляемой. Структурная схема такого объекта показана на 

рис. 6.5. Пунктиром выделена неуправляемая часть объекта, процессы 

в которой развиваются в силу собственных свойств. Изменить их с по-
мощью  управления  невозможно,  однако  переменные 

2

z   влияют  на 

управляемую  часть  и  выходные  переменные  y.  Если  неуправляемая 

часть будет неустойчива, то и весь объект будет не только неустойчи-

вым, но и нестабилизируемым. 

2

z

1

z

u

y

1

p

1

p

11

A

12

A

22

A

2

C

1

C

1

B

2

z

1

z

1

p

1

p

11

A

12

A

22

A

2

C

1

C

1

B

Рис. 6.5. Структурная схема не полностью  

управляемого объекта 

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

170 

Таким  образом,  для  не  полностью  управляемого объекта  условием 

разрешимости  задачи  синтеза  является  требование  устойчивости  не-

управляемой части. 

ПРИМЕР  6.2 

Проверить управляемость объекта, поведение которого описывает сле-

дующая система дифференциальных уравнений: 

1

2

2

3

3

1

2

3

,

,

2

5

3 .

x

x

x

x

u

x

x

x

x

u





Определим матрицы  

0

1

0

0

0

0

1 ,

1 .

2

5

1

3

A

B

Запишем матрицу управляемости в виде 

2

U

B

AB

A B  и вычис-

лим матрицы произведений 

2

1

3

3 ,

2

2

15

AB

A B

. 

Составим матрицу управляемости 

0

1

3

1

3

2

3

2

15

U

и найдем ее определитель 

det

33,

U

 следовательно, объект управляем. 

6.3.4. НАБЛЮДАЕМОСТЬ 

Это  понятие  отражает  возможность  оценки  переменных  состояния 

объекта (6.12) по результатам измерения выходных переменных. 

Объект  называется  наблюдаемым,  если  в  любой  момент  времени 

можно оценить состояние x по данным измерения выходных перемен-

ных  ( )

y t  и управляющих воздействий  ( )

u t .