Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19981
Скачиваний: 136
Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
176
Рассмотрим реакцию системы только на входное воздействие v, по-
лагая возмущение и помеху равными нулю (
0,
0
M
H
), их влияние
учтем в дальнейшем. Определим сначала передаточную функцию ра-
зомкнутой системы
p
к
0
( )
( )
( )
W
p
W
p W
p ,
(6.27)
а затем замкнутой
p
p
( )
( )
.
1
( )
W
p
W p
W
p
(6.28)
Как видим, передаточную функцию замкнутой системы однозначно
определяет
p
( )
W
p .
Таким образом, если удастся сформировать определенную переда-
точную функцию или частотную характеристику для разомкнутой сис-
темы, то тем самым можно обеспечить требуемые свойства в замкну-
той системе.
6.4.2. ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА СВОЙСТВА ЗАМКНУТОЙ
Рассмотрим подробнее связь между частотными характеристиками
разомкнутой и замкнутой систем, для чего от передаточной функции
(6.27) перейдем к частотной характеристике
p
к
0
(
)
(
)
(
)
W
j
W
j
W
j
.
(6.29)
Исследуем характеристику (6.29) в различных областях частот, как
это принято в инженерной практике. Введем предварительно несколь-
ко определений.
Зоной низких частот будем называть область изменения вблизи
нуля. В ней по условию статики выполняется соотношение
0
0
(0)
,
W
k
где
0
k – коэффициент усиления объекта. Обычно
1,
k
поэтому для
разомкнутой системы в соответствии с (6.29) получим
6.4. Частотный метод синтеза
177
p
0
(
)
1.
W
j
(6.30)
Областью высоких частот будем называть совокупность частот,
намного превышающих полосу пропускания системы. Здесь справед-
ливы соотношения
0
p
(
)
0,
(
)
0.
W
j
W
j
(6.31)
Под зоной средних частот будем понимать промежуток между зо-
нами низких и высоких частот, где выполняются соотношения
0
p
(
)
1,
(
)
1.
W
j
W
j
(6.32)
Поскольку частотные характеристики разомкнутой и замкнутой
систем связаны соотношением, аналогичным (6.28), с учетом (6.30) в
области низких частот (НЧ) получим
p
p
(
)
(
)
1,
1
(
)
W
j
W j
W
j
т. е. частотная характеристика разомкнутой системы практически не
влияет на аналогичную характеристику замкнутой системы.
В области высоких частот (ВЧ) с учетом (6.31) справедливо соот-
ношение
p
p
(
)
(
)
0,
1
(
)
W
j
W j
W
j
а следовательно, частотная характеристика разомкнутой системы так-
же не влияет на свойства замкнутой.
Таким образом, наибольшее влияние разомкнутая система оказыва-
ет на свойства замкнутой в области средних частот (СЧ), где необхо-
димо особенно тщательно формировать частотную характеристику
p
(
)
W
j
.
Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
178
6.4.3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ЧАСТОТНОГО МЕТОДА СИНТЕЗА
На основе выражения (6.29) получим расчетные соотношения час-
тотного метода синтеза. Если удается задать определенную частотную
характеристику разомкнутой системы
*
p
(
)
W
j
, то из (6.29) можно вы-
числить
к
(
)
W
j
. Однако этот способ громоздок и не нашел практиче-
ского применения, но на его основе разработан удобный метод синтеза
по ЛАЧХ. Запишем его расчетное соотношение, для чего частотную
характеристику разомкнутой системы представим в форме
( )
p
р
(
)
( )
.
j
W
j
A
e
В соответствии с (6.29) для амплитудных частотных характеристик
справедливо равенство
p
к
0
( )
( )
( ),
A
A
A
которое в логарифмическом масштабе принимает вид
p
к
0
( )
( )
( ).
L
L
L
(6.33)
Приравняв правую часть (6.33)
*
( )
L
p , получим
*
к
0
( )
( )
( ).
L
L
L
Отсюда следует расчетное соотношение для логарифмической харак-
теристики регулятора, которое является основным в частотном методе
синтеза
к
*
0
( )
( )
( ).
L
L
L
(6.34)
Таким образом, для расчета регулятора необходимо построить ло-
гарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) объ-
екта и на основе требований к качеству процессов в замкнутой системе
сформировать ЛАЧХ разомкнутой системы. Затем следует определить
ЛАЧХ регулятора в соответствии с выражением (6.34).
6.4. Частотный метод синтеза
179
6.4.4. ПОСТРОЕНИЕ
АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ЛАЧХ ОБЪЕКТА
Часто модель объекта управления представляет собой последова-
тельную цепочку типовых звеньев, поэтому
0
( )
L
можно получить,
суммируя отдельные ЛАЧХ. Подобное суммирование позволяет пред-
ложить следующую процедуру построения
0
( )
L
.
• На частоте
1
(или в логарифмическом масштабе lg
0
)
фиксируется точка, соответствующая значению
0
20 lg k , где
0
k – ко-
эффициент усиления объекта.
• На оси абсцисс отмечаются частоты сопряжения
1
i
i
T
(или
1
lg
lg
i
i
T
),
1,
i
n , где n – число типовых звеньев в составе переда-
точной функции объекта.
• До первой частоты сопряжения строится низкочастотная асим-
птота с наклоном 20 дБ/дек., если
0
( )
W p содержит интегрирующие
звенья, а r – число таких звеньев. Наклон характеристики будет равен
20
дБ/дек., если передаточная функция объекта содержит дифферен-
цирующие звенья, l – число этих звеньев. Низкочастотная асимптота
строится таким образом, чтобы она сама или ее продолжение проходи-
ли через точку
0
20 lg k .
• На частотах сопряжения происходит «излом» асимптотической
ЛАЧХ объекта. Наклон ЛАЧХ изменяется на 20 дБ/дек., если соот-
ветствующая частоте сопряжения постоянная времени находится в
знаменателе передаточной функции объекта, r – число таких звеньев.
«Излом» асимптотической ЛАЧХ будет равен 20 дБ/дек., если по-
стоянная времени находится в числителе передаточной функции, l –
число звеньев. Новая асимптота проводится до следующей частоты
сопряжения, где также происходит ее «излом» в соответствии с ука-
занным правилом.
ПРИМЕР 6.5
Построить асимптотическую ЛАЧХ объекта, передаточная функция ко-
торого имеет вид
0
0
1
2
( )
(
1)(
1)
k
W
p
p T p
T p
,
Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
180
где коэффициент усиления
0
10
k
, а постоянные времени
1
10 с
T
,
2
1 с
T
.
Используем предложенную процедуру для построения ЛАЧХ объекта.
Предварительно определим характерные точки:
0
20 lg
20 дБ;
k
1
1
lg
lg 1
lg 0,1
1 дек.;
T
2
2
lg
lg 1
lg1
0
T
,
отметим их на осях координат (рис. 6.9).
L, дБ
lg , дек
0
20 lg k
–20
–40
–60
20
10
–10
0
1
1
lg
0
( )
L
1
.
40
20 lg k
0
.
Риc. 6.9. Асимптотическая ЛАЧХ объекта
для примера 6.5
Построение ЛАЧХ начинается из области низких частот, которая рас-
положена левее первой частоты сопряжения. Низкочастотная асимптота
имеет наклон –
20 дБ/дек., так как передаточная функция объекта содер-
жит интегрирующее звено. Проводится она до частоты
1
lg
так, чтобы ее
продолжение пересекало ось ординат в точке
0
20 lg k
. На частоте
1
lg
происходит «излом» характеристики на –20 дБ/дек., что соответствует
апериодическому звену в составе
0
( )
W
p
. До следующей частоты сопря-
жения (
2
lg
) асимптота имеет наклон –
40 дБ/дек. «Излом» характеристи-
ки на частоте
2
lg
равен –
20 дБ/дек., так как в составе
0
( )
W
p есть апе-
риодическое звено с постоянной времени
2
T
. Следовательно, наклон
последней асимптоты ЛАЧХ объекта будет равен –60 дБ/дек.