Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19976
Скачиваний: 136
6.3. Условия разрешимости задачи синтеза
171
Условие проверяется с помощью критерия наблюдаемости, кото-
рый приводится без доказательства [2, 7]. Объект (6.12) наблюдаем
тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости
1
n
C
CA
N
CA
(6.18)
имеет полный ранг, т. е.
.
r N
n
(6.19)
Это условие можно проверить по соотношению
det
0.
T
N N
В случае одноканального объекта критерий наблюдаемости (6.19)
принимает вид
det
0.
N
(6.20)
Задача синтеза будет иметь решение, если объект наблюдаем,
т. е. условие наблюдаемости также является условием разрешимости
задачи синтеза.
В случае, когда r N
n , т. е. объект (6.12) не полностью наблюда-
ем, существует невырожденное преобразование переменных
2
2
,
det
0,
z
M x
M
которое позволяет уравнения (6.12) записать в форме
1
11 1
1
2
21 1
22 2
2
1 1
,
,
.
z
A z
B u
z
A z
A z
B u
y
C z
(6.21)
Здесь переменные
2
z характеризуют ненаблюдаемую часть объекта
(рис. 6.6).
Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
172
2
z
1
z
u
y
1
p
1
p
11
A
21
A
22
A
1
C
1
B
2
B
2
z
1
z
1
p
1
p
11
A
21
A
22
A
1
C
1
B
2
B
Рис. 6.6. Структурная схема не полностью
наблюдаемого объекта
На схеме пунктиром выделена ненаблюдаемая часть. Если она не-
устойчива, то стабилизировать объект нельзя. Следовательно, в этом
случае условие разрешимости задачи синтеза – устойчивость нена-
блюдаемой части объекта.
ПРИМЕР 6.3
Проверить наблюдаемость объекта управления «каретка–маятник»,
схематичная модель которого изображена на рис. 2.3. В примере 2.5 полу-
чены матрицы объекта в виде
2
2
4
4
0
1
0
0
0
0
0
0
,
,
0
0
0
1
0
0
0
0
a
b
A
B
a c
a c
0
0 .
C
c
c
Составим матрицу наблюдаемости
2
2
2
4
2
4
2
2
2
3
4
2
4
0
0
0
0
0
0
0
c
c
C
c
c
CA
N
a c
a c
a c
CA
a c
a c
a c
CA
и определим ее детерминант. Так как det
0
N
, объект «каретка – маят-
ник» является ненаблюдаемым.
6.3. Условия разрешимости задачи синтеза
173
6.3.5. О «ВЫРОЖДЕНИИ» ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
При получении передаточных функций реальных систем в числите-
ле и знаменателе могут появиться одинаковые или близкие сомножи-
тели, например,
( ) ( )
( )
.
( ) ( )
B p D p
W p
A p D p
(6.22)
После сокращения этих сомножителей получим вырожденную пе-
редаточную функцию
( )
( )
.
( )
B p
W p
A p
Система будет работоспособной только в том случае, если выпол-
няется условие разрешимости: общие сомножители числителя и зна-
менателя имеют корни с отрицательной вещественной частью
Re
( )
0
0.
D p
(6.23)
ПРИМЕР 6.4
Покажем, к чему приведет несоблюдение условия (6.23) для объекта,
который состоит из трех параллельных каналов (рис. 6.7).
1
1
( )
( )
B p
A p
2
2
( )
( )
B p
A p
( )
( )
B p
A p
y
u
d
c
1
1
( )
( )
B p
A p
2
2
( )
( )
B p
A p
( )
( )
B p
A p
Рис. 6.7. Структурная интерпретация
условия разрешимости
Определим для него передаточную функцию
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
B p
B
p
y
B p
W p
c
d
u
A p
A p
A
p
Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
174
которую представим в виде
2
1
1
2
2
1
1
2
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
.
( ) ( )
( )
A p A
p B p c
A p A
p B p
dB
p A p A p
W p
A p A p A
p
(6.24)
Если здесь полагать
0
c
, то получим передаточную функцию
1
2
2
1
1
2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
,
( ) ( )
( )
A p A
p B p
dB
p A p A p
W p
A p A p A
p
где
1
( )
A p
– общий сокращаемый множитель. При выполнении условия
Re
( )
0
0
A p
передаточная функция принимает вид
2
2
2
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
( )
( )
A
p B p
dB
p A p
W p
A p A
p
(6.25)
Наличие сокращаемого множителя в числителе и знаменателе (6.24) струк-
турно означает появление неуправляемой части: при
0
c
происходит
разрыв связи и управление не действует на звено с передаточной функцией
1
1
1
( )
( )
,
( )
B p
W p
A p
процессы в котором развиваются в силу собственных
свойств.
При
0
d
вместо (6.24) имеем
2
1
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
,
( ) ( )
( )
A p A
p B p c
A p A
p B p
W p
A p A p A
p
где
2
( )
A
p – общий сокращаемый множитель. При выполнении условия
2
Re
( )
0
0
A p
получим
1
1
1
( )
( )
( ) ( )
( )
.
( ) ( )
A p B p c
A p B p
W p
A p A p
(6.26)
Это соответствует наличию ненаблюдаемой части системы с переда-
точной функцией
2
2
( )
( )
,
( )
B
p
W p
A
p
которая не влияет на выход системы.
При неустойчивой неуправляемой или ненаблюдаемой части объекта
замкнутая система окажется неработоспособной.
6.4. Частотный метод синтеза
175
Данный пример иллюстрирует одну особенность одноканальных
систем. Если ее поведение описывается передаточной функцией, то
наличие неуправляемой или ненаблюдаемой части проявляется одина-
ково – в виде сокращаемых множителей в числителе и знаменателе.
В расчетной практике приведенные ранговые критерии разумно
применять при проверке адекватности математической модели объекта
его реальному поведению.
6.4. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА
6.4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Будем рассматривать объект управления, поведение которого опи-
сывает передаточная функция
0
( )
W p , а выходная переменная измеря-
ется с помехой
( )
H t
(см. рис. 6.2). Влияние окружающей среды отра-
жает возмущение
( )
M t
.
Требования к поведению замкнутой системы заданы в виде оценок
переходного процесса, в качестве которых используются статическая
ошибка
*
(
) , перерегулирование (
) и быстродействие
*
( )
п
t
.
Необходимо определить передаточную функцию
к
( )
W p регулятора
(корректирующего звена), включение которого в систему обеспечит в
ней заданное качество работы.
Частотный метод синтеза предполагает использование асимптотиче-
ских логарифмических амплитудных частотных характеристик, он при-
меняется для расчета одноканальных систем, функционирующих в ре-
жиме слежения или отработки входного воздействия. Предполагается,
что корректирующее звено (регулятор) находится на входе объекта. Рас-
четная структурная схема системы имеет вид, изображенный на рис. 6.8.
( )
k
W
p
0
( )
W p
v
y
M
h
( )
k
W
p
0
( )
W p
W
к
(p)
H
Рис. 6.8. Расчетная структурная схема системы