Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

6.4. Частотный метод синтеза 

181 

Для  построения  ЛАЧХ  объекта  с  произвольной  передаточной 

функцией  

0

( )

( )

( )

B p

W

p

A p

. 

следует перейти к выражению для частотной характеристики  

0

(

)

(

)

(

)

B j

W

j

A j

. 

Амплитудно-частотная характеристика определяется так:  

0

( )

( )

( )

B

A

A

A

A

, 

что позволяет вычислить 

0

( )

( )

( )

B

A

L

L

L

. 

(6.35) 

Таким образом, логарифмическая амплитудно-частотная характери-

стика объекта находится как разность (6.35). 

6.4.5. ПОСТРОЕНИЕ  ЖЕЛАЕМОЙ  ЛАЧХ 

Поскольку  желаемая  логарифмическая  амплитудная  частотная  ха-

рактеристика 

*

( )

L

 строится на основе требований к качеству работы 

замкнутой системы в статике и динамике, рассмотрим эти режимы от-

дельно. 

Так как в основном статическую ошибку в системе (см. рис. 6.9) по-

рождает возмущающее воздействие (см. главу 5), то необходимо обес-

печить выполнение условия 

0

0

*

M

, 

 (6.36) 

где 

0

0

*

*

M   –  величина  максимально  допустимой  статической 

ошибки; 

0

*

 – ее относительное значение; 

0
M

 – действительная стати-

ческая ошибка в системе от возмущения. 

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

182 

Известно,  что  на  величину  статической  ошибки  влияет  общий  ко-

эффициент усиления 

р

k

, который равен произведению коэффициентов 

усиления объекта и регулятора 

p

0

.

k

k

k k

 В случае статической сис-

темы ошибка 

0
M

 соответствует выражению (5.15), т. е. 

0

0

1

.

1

M

k

M

k k

С  учетом  требования (6.36)  расчетное  соотношение  для 

p

k   прини-

мает вид 

*

1

1

p

k

. 

 (6.37) 

Для астатических систем, работающих в режиме линейной заводки, 

коэффициент  усиления 

р

k   можно  определить  на  основе  выражения 

(5.19). 

При синтезе систем частотным методом ЛАЧХ объекта и ЛАЧХ ра-

зомкнутой  системы  удобно  «выровнять»  по  коэффициенту  и  строить 

0

( )

L

  с  коэффициентом  усиления 

р

k .  Таким  образом,  требование  по 

статике учитывается на этапе построения логарифмической характери-

стики объекта. 

Обсудим  теперь  построение  желаемой 

ЛАЧХ  разомкнутой  системы,  которую 

будем  выбирать  из  условий  требуемой 

динамики  замкнутой  системы.  Так  как 

наибольшее  влияние  на  свойства  замкну-

той системы разомкнутая оказывает в об-

ласти  средних  частот  (см.  подразд.  6.4.2), 

построение  желаемой  характеристики  на-

чинается  именно  в  этой  области  частот  

(рис. 6.10). 

Опытным путем установлено, что для обеспечения заданных дина-

мических  свойств  наклон  среднечастотной  асимптоты 

*

( )

L

  следует 

выбирать  равным  –20  дБ/дек.,  причем  ось  абсцисс  она  пересекает  в 
точке 

ср

lg

. Частота среза 

ср

  в  данном  методе  играет  роль  гранич-

lgw

L

–20 дБ/дек

l

cр

lgω

–20 дБ/дек. 

lg

ω 

ср

lg

l 

L 

Риc. 6.10. Среднечастотная  

асимптота желаемой ЛАЧХ 

6.4. Частотный метод синтеза 

183 

ной  частоты  полосы  пропускания,  при  этом  значение  АЧХ  системы 

становится равным единице. 

Выбирается 

ср

  по  заданному  быстродействию  и  перерегулирова-

нию замкнутой системы, а соотношение между 

*
n

t  и 

ср

 устанавлива-

ют номограммы, приводимые в справочной литературе [6, 39, 40]. Для 
предварительных расчетов можно пользоваться выражением 

ср

*
n

k

t

, 

 (6.38) 

где 

(2

4)

k



 и зависит от величины заданного перерегулирования. 

Длина  среднечастотного  участка  желаемой  ЛАЧХ  ограничивается 

запасом устойчивости по модулю  L , который откладывается вверх и 
вниз по оси ординат. В свою очередь  L  находится по номограммам в 
зависимости от требуемого перерегулирования 

. 

Приближенно  длина  среднечастотного  участка 

(1...1,5)

l

  декады, 

причем  вправо  и  влево  от 

ср

lg

  длина  асимптоты  составляет  0,5l .  

В  этом  случае  в  системе  будет  обеспечено  перерегулирование 

(20

30) %



. 

Далее переходим к построению желаемой характеристики в области 

высоких и низких частот. Поскольку 

0

( )

L

 строится с учетом рассчи-

танного из условий статики коэффициента усиления 

р

k

, для требуемой 

статической ошибки следует обеспечить совпадение в области низких 
частот 

*

( )

L

  с  ЛАЧХ  объекта.  В  области  высоких  частот  эти  две  ха-

рактеристики  могут  совпадать  или  быть  параллельными.  Далее  сред-
нечастотная  часть  совмещается  с  низкочастотной  и  высокочастотной 
асимптотами желаемой ЛАЧХ. Наклон ЛАЧХ на участках сопряжения 
должен быть кратным 20 дБ/дек., их следует проводить так, чтобы по-
лучить наиболее простую характеристику 

к

( )

L

. 

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

184 

6.4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ   

ПЕРЕДАТОЧНОЙ  ФУНКЦИИ  РЕГУЛЯТОРА 

Асимптотическую ЛАЧХ регулятора найдем графически в соответ-

ствии  с  основным  соотношением  частотного  метода  синтеза  (6.34)  в 

виде 

к

*

0

( )

( )

( ).

L

L

L





По полученной характеристике определим частоты сопряжения, где 

происходит излом 

к

( )

L

, и соответствующие им значения постоянных 

времени.  Передаточная  функция 

к

( )

W p



  определяется  на  основе  про-

цедуры, обратной по отношению к правилу построения ЛАЧХ объекта. 

Причем  в  окончательную  передаточную  функцию  регулятора  следует 
добавить коэффициент усиления 

к

p

0

k

k

k

, рассчитанный по услови-

ям статики, т. е. 

к

к к

( )

( )

W p

k W p



. 

Реализовать  полученную  передаточную  функцию  можно  на  пас-

сивных  или  активных  элементах.  В  последнем  случае  удобно  вос-

пользоваться рекомендациями разд. 3.6 по переходу от передаточной 

функции  к  структурным  схемам,  соответствующим  каноническому 

представлению. Отметим, что в этом методе синтеза для реализации 

регулятора  можно  использовать  любой  из  вариантов  структурных 

схем. 

ПРИМЕР  6.6 

Для системы, приведенной  на  рис. 6.8, с  передаточной функцией объ-

екта 

0

0

1

2

( )

(

1)(

1)

k

W

p

p T p

T p

и  построенной  по  заданным  требованиям  к  динамике  и  статике  логариф-
мической характеристикой 

*

( )

L

 (рис. 6.11), необходимо определить  пе-

редаточную функцию регулятора. 

Предварительно графически найдем 

к

( )

L

 как разность между желае-

мой характеристикой 

*

( )

L

 системы и ЛАЧХ объекта 

0

( )

L

. Определим 

частоты  сопряжения 

,

1, 4

i

i

,  которые  соответствуют  точкам  излома 

6.4. Частотный метод синтеза 

185 

характеристики  корректирующего  звена 

к

( )

L

.  Используя  правило  

подразд. 6.4.3, запишем передаточную функцию регулятора в виде 

3

1

к

4

2

(

1)(

1)

( )

(

1)(

1)

T p

T p

W

p

T p

T p

, 

где 

1

i

i

T

. 

L

lg 

0

20 lg k

0

( )

L

*

( )

L

K

(ω)

L

2

lg

1

lg

3

lg

4

lg

20 lg k

0

4

lg

Рис. 6.11. Иллюстрация частотного метода синтеза 

Схематично полученную передаточную функцию можно представить в 

виде  цепочки  последовательно  соединенных  интеграторов  с  прямыми  и 

обратными связями, используя приемы, описанные в разд. 3.6. Такое пред-

ставление  позволяет  легко  перейти  к  реализации  корректирующего  звена 

на активных элементах. 

6.4.7. ВЛИЯНИЕ  ВОЗМУЩЕНИЯ  И  ПОМЕХИ  ИЗМЕРЕНИЯ 

НА  СВОЙСТВА  ЗАМКНУТОЙ  СИСТЕМЫ 

Обсудим  теперь  влияние  возмущения  и  помехозащищенность  сис-

темы (рис. 6.12), рассчитанной частотным методом, для чего вернемся 

к ее исходной структуре (см. рис. 6.8).