Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

186 

( )

k

W

p

0

( )

W p

v

y

M

h

( )

k

W

p

0

( )

W p

к

( )

W

p

0

( )

W

p

М

y

H

v  

Рис. 6.12. Расчетная структурная схема системы  

для частотного метода синтеза 

Рассмотрим сначала случай, когда помеха измерения пренебрежимо 

мала (

0

H

). Запишем выражение для выходной переменной системы 

к

0

к

0

к

0

( )

( )

1

1

( )

( )

1

( )

( )

W

p W

p

y

v

M

W

p W

p

W

p W

p

. 

(6.39) 

В  соответствии  с  постановкой  задачи  синтеза  необходимо,  чтобы 

выходная  переменная  y  повторяла  входной  сигнал  v  независимо  от 

влияния  возмущения  M. Обсудим,  как  система  справляется  с  этой  за-

дачей, для чего исследуем ее поведение на различных частотах. 

В области низких частот в соответствии с (6.30) справедливо условие 

к

0

(

)

(

)

1,

W

j

W

j

  поэтому  вторая  составляющая  выражения  (6.39) 

при замене p на  j  обращается в нуль, а  y v . Таким образом, система 
на низких частотах достаточно хорошо выполняет свою функцию. 

Вблизи  частоты  среза  (в  области  средних  частот)  согласно  (6.32) 

справедливо соотношение 

к

0

(

)

(

)

1,

W

j

W

j

 а составляющие выхода 

следующие: 

0,5

y

v

  и 

0,5

.

M

y

M   Очевидно,  что  в  такой  ситуации 

система  плохо  воспроизводит  вход  и  плохо  подавляет  возмущение,  

т. е. работает «частично». 

В области высоких частот для частотных характеристик справедли-

во  соотношение  (6.31),  поэтому  вместо  выражения  (6.39)  получим 

0

v

y

 и 

M

y

M . Как видим, в этом случае система не справляется с 

поставленной задачей. 

Следовательно,  чем  шире  полоса  пропускания  (чем  больше 

ср

), 

тем  лучше  в  условиях  действия  возмущений  система  выполняет  свое 

назначение.  При  построении  желаемой  логарифмической  характери-

стики  разомкнутой  системы  необходимо  учитывать  этот  факт  и  стре-
миться по возможности увеличивать 

ср

. 

6.4. Частотный метод синтеза 

187 

Обсудим теперь влияние помехи H, полагая входное воздействие v 

и возмущение М равными нулю. Поскольку объект, как правило, имеет 

ограниченную  полосу  пропускания  и  в  этом  случае  выступает  в роли 

фильтра, высокочастотная помеха не будет проходить на выход систе-

мы. В основном помеха влияет на управляющее воздействие, для кото-

рого операторное выражение имеет вид 

к

к

0

( )

1

( )

( )

W

p

u

H

W

p W

p

. 

 (6.40) 

Рассмотрим  соответствующую  частотную  характеристику  и  запи-

шем  приближенные  выражения  для  управления  (6.40)  на  различных 

частотах. 

В области низких частот, когда 

к

0

(

)

(

)

1,

W

j

W

j

 получим 

0

1

.

u

H

k

Как  видим,  влияние  помехи  будет  тем  меньше,  чем  больше  коэф-

фициент усиления объекта. 

Для области средних частот справедливо условие 

к

0

(

)

(

)

1,

W

j

W

j

при этом 
 

0,5

,

u

H

т. е. влияние помехи повышается по сравнению с предыдущим случаем. 

В области высоких частот при выполнении соотношения (6.31) со-

ставляющую управления, порожденную помехой, приближенно можно 

оценить: 

к

(

)

u W

j

H . 

Таким образом, в этом случае влияние помехи почти полностью оп-

ределяется свойствами корректирующего звена. 

Следовательно, для уменьшения влияния помехи на низких и сред-

них  частотах  нужно  применять  «качественный»  датчик,  а  на  высоких 

частотах  помеху  можно  подавить  путем  использования  регулятора, 

обладающего  интегрирующими  свойствами.  Подобный  эффект  будет 

наблюдаться, если степень полинома числителя передаточной функции 

к

( )

W p  меньше степени полинома ее знаменателя. В случае, когда сте-

пени  полиномов 

к

( )

A p   и 

к

( )

B p   равны,  в  регулятор  рекомендуется 

добавить апериодическое звено с малой постоянной времени. 

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

188 

6.4.8. ПРОЦЕДУРА  СИНТЕЗА  РЕГУЛЯТОРА  

   ЧАСТОТНЫМ  МЕТОДОМ 

Обобщая  рассмотренные  этапы  частотного  метода  синтеза,  можно 

предложить следующую процедуру расчета регулятора. 

1.  Определяется  коэффициент  усиления  разомкнутой  системы 

р

k  

из условия заданной статической ошибки 

0

*

 по соотношению (6.36), а 

затем  вычисляется  коэффициент  усиления  регулятора  (корректирую-
щего звена) 

к

p

0

k

k

k . 

2.  Строится  асимптотическая  логарифмическая  амплитудная  час-

тотная характеристика объекта с учетом рассчитанного коэффициента 
усиления регулятора 

к

k , т. е. 

0

к 0

( )

( )

L

k L



. 

3.  На основании требований к качеству процессов в замкнутой сис-

теме  (

*
n

t   и 

)  формируется  желаемая  ЛАЧХ  разомкнутой  системы 

*

( )

L

. 

4.  Графически  вычисляется  логарифмическая  амплитудная  частот-

ная 

характеристика 

регулятора 

согласно 

соотношению 

к

*

0

( )

( )

( ).

L

L

L





5.  В  соответствии  с  правилом  подразд.  6.4.3  на  основе 

к

( )

L

  вос-

станавливается  передаточная  функция 

к

( )

W p



,  а  затем  записывается 

передаточная функция регулятора 

к

к к

( )

( )

W p

k W p



. 

6.  Анализируется  влияние  возмущения  M(t)  и  в  случае  необходи-

мости  увеличивается  частота  среза 

cр

,  для  которой  повторяются  

пп. 3–5. 

7.  Для уменьшения влияния помехи измерения к рассчитанной пе-

редаточной  функции 

к

( )

W p   корректирующего  звена  добавляется  пе-

редаточная  функция  апериодического  звена  с  малой  постоянной  вре-

мени. 

8.  Предлагается  схемная  реализация  регулятора  на  активных  или 

пассивных элементах. 
 
 
 
 

6.4. Частотный метод синтеза 

189 

6.4.9. О ВЛИЯНИИ СОКРАЩАЕМЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ 

Здесь мы вернемся к обсуждению эффектов, к которым может при-

вести  пренебрежение  одинаковыми  или  близкими  по  численным  зна-

чениям  сомножителями  в  числителе  и  знаменателе  передаточной 

функции  разомкнутой  системы.  В  подразд.  6.3.5  была  рассмотрена 

связь этого факта со свойствами управляемости и наблюдаемости. Об-

судим теперь возможные последствия  такого пренебрежения в проце-

дуре частотного метода. 
    Пусть снова передаточная функция разомкнутой системы имеет вид 

(6.22). При построении ЛАЧХ «близкие» сомножители практически не 

изменят вид характеристик и, следовательно, вид переходных процес-

сов при отработке задающих воздействий с нулевыми начальными ус-

ловиями. Однако в замкнутой системе эти сомножители соответствуют 

определенной  группе  корней,  что  следует  из  характеристического 

уравнения 

( )

( )

( )

( )

[ ( )

( )]

( )

0

A p

D p

B p

D p

A p

B p

D p

. 

Как  видно,  уравнение 

( )

0

D p

    порождает  свои  составляющие 

движения при соответствующих начальных условиях, что требует от-

дельного  анализа  корней  этого  уравнения.  Они  должны  соответство-

вать  принятому  для  системы  запасу  устойчивости.  Реальная  система 

отрабатывает  и  задающие  воздействия  и  случайные  возмущения,  и 

конструктор  должен  гарантировать  успешную  работу  при  всех  воз-

можных режимах. 

ПРИМЕР  6.7 

Для  следящей  системы  управления  одним  из  звеньев  руки  робота  из 

примера  5.2  (рис.  6.13)  рассчитать  регулятор,  который  обеспечивал  бы 
следующее качество процессов: время установления 

2 c

n

t

, перерегули-

рование 

30 %

, скоростная ошибка 

ск

2,5 % . 

( )

W

p

( )

W

p

1

p

( )

W p

р

1

0

θ

2

Двигатель

Редуктор

Регулятор

рег

Рис. 6.13. Структурная схема системы управления  

одним из звеньев руки робота 

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

190 

На рис. 6.13 приняты следующие обозначения: 

дв

4, 5

( )

(

1)(

5)

W

p

p

p

 и 

р

1

( )

30

W

p

– передаточные функции двигате-

ля и редуктора; 

рег

к

УМ

( )

( )

( )

W

p

W

p W

p

 – передаточная функция регуля-

тора, который включает в себя корректирующее звено 

к

( )

W

p  и усилитель 

мощности с передаточной функцией 

УМ

УМ

( )

30

W

p

k

. 

При расчете 

к

( )

W

p  коэффициент усиления  усилителя мощности 

УМ

k

добавим  к  передаточной  функции  объекта,  т.  е.  будем  рассматривать 

0

УМ дв

р

4, 5

( )

( )

( )

(

1)(

5)

W

p

k

W

p W

p

p p

p

. 

В  соответствии  с  процедурой  синтеза  определим  коэффициент  усиле-

ния  корректирующего  звена  из  условия  заданной  скоростной  ошибки  

(см. пример 5.2):  

0

0

*

рег

дв

р

1

(0)

(0)

(0)

W

W

W

. 

С учетом численных значений получим 

к

1 0,9

0, 025

k

 и 

к

45

k

. Вы-

берем отсюда 

к

50

k

. 

Для построения асимптотической ЛАЧХ 

0

( )

L

 запишем 

0

( )

W

p



 в виде 

0

к 0

45

( )

( )

(

1)(0, 2

1)

W

p

k W

p

p p

p



и  определим  следующие  характерные  точки:  20lg

20 lg 45

k

=33  дБ; 

1

1

1

1

2

2

1

1 с

,

1

5 с .

T

T

  В  логарифмическом  масштабе 

1

lg

0,  

2

lg

0,7 дек. Асимптотическая ЛАЧХ 

0

( )

L

 приведена на рис. 6.14. 

Построим  теперь  желаемую  ЛАЧХ,  среднечастотный  участок  которой 

имеет  наклон  –20  дБ/дек.  Исходя  из  заданного  перерегулирования 

*

30 %

,  по  номограммам  [6]  (рис.  6.15)  определим 

max

1, 22

P

  и 

*

1

н

4

6, 5 с

n

t

.  Частоту  среза  обычно  находят  по  соотношению 

cр

н

(0, 6...0,9)

,  поэтому  выберем 

1

ср

5 c

.  В  этом  случае 

ср

lg

0, 7

  дек.  Запас  устойчивости  по  модулю,  ограничивающий  сред-

нечастотный участок ЛАЧХ, также определим по номограмме, 

16дБ

L

. 

В результате получим 

*

( )

L

, которая приведена на рис. 6.14.