Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

196 

Поскольку  в  статике  передаточные функции 

0

( )

W p   и 

( )

d

W

p   «вы-

рождаются» в коэффициенты усиления, получим окончательно  y v . 

Таким  образом,  использование  корректора  статики 

( )

s

W p   вида 

(6.48) делает систему астатической, и условие (6.4) можно обеспечить 
с ошибкой 

0

0 . 

6.5.4. РАСЧЕТ  КОРРЕКТОРА  ДИНАМИКИ 

В  качестве  корректора  динамики  предлагается  выбирать  звено  со 

следующей передаточной функцией: 

1

1

1

1

1

( )

( )

( )

n

n

d

m

m

m

m

d p

d

D p

W

p

B p

b

p

b p

b





, 

       (6.50) 

где  ( )

B p

 – полином числителя передаточной функции объекта 

0

( )

W p , 

а  ( )

D p

 – введенный расчетный полином с неизвестными коэффициен-

тами  ,

1,

i

d

i

n . 

Процедура  модального  метода  синтеза  заключается  в  приравнива-

нии  действительного  и  желаемого  характеристических  уравнений 

замкнутой  системы  и  вычислении  из  полученных  соотношений  пара-

метров регулятора. 

Первоначально определим характеристическое уравнение системы, 

структурная схема которой приведена на рис. 6.17: 

0

0

1

( )

( )

( )

( )

0

d

s

W p W

p

W p W p

.              (6.51) 

С учетом (6.47), (6.48) и (6.50) уравнение (6.51) принимает вид 

( )

( )

( )

0

s

pA p

pD p

k B p

, 

причем его порядок равен (

1

n

). 

Подставляя  вместо  ( )

A p

, 

( )

D p

  и 

( )

B p

  их  выражения,  получим 

действительное  характеристическое  уравнение  замкнутой  системы  в 

следующей форме: 

1

1

1

2

1

(

)

(

)

0

n

n

n

n

s

s

p

a

d

p

a

d

k b p

k b



. 

(6.52) 

Теперь  на  основе  требований  к  качеству  переходных  процессов  

(

заданного  перерегулирования 

  и  быстродействия 

*
n

t

)

  сформируем  

6.5. Модальный метод синтеза 

197 

желаемое характеристическое уравнение того же порядка, что и (6.52). 

Для  его  конструирования  используем  корневые  оценки  переходных 

процессов,  с  помощью  которых  получим  эталонное  распределение 

корней на комплексной плоскости (см. подразд. 5.5.2). 

Предварительно определим границу расположения заданных корней 

системы. Она зависит от заданного времени переходного процесса 

*
n

t  и 

приближенно может быть найдена по соотношению 

*

3

n

t

. 

 (6.53) 

Заданное перерегулирование 

 ограничивает сектор на комплекс- 

ной плоскости, внутри которого должны располагаться заданные кор-

ни (рис. 6.18). С этой целью по соотношению  

*

*

100exp(

/

)  

определяем требуемое значение колебательности процессов в системе 

*

,  а  затем  вычисляем  значение  мнимой  части  корней  с  «максималь-

ным» размахом: 

*

. 

 (6.54) 

Эталонные  корни 

*

*

1

1

,

,

n



  могут  выби-

раться  внутри  ограниченной  области  ком-
плексной  плоскости  (рис.  6.18)  произвольным 
образом.  Однако  чем  дальше  они  удалены  от 
границы 

,  тем  меньше  длительность  пере-

ходного  процесса  и  больше  потребуется  ре-
сурс управления объекта. Поэтому рекоменду-
ется  выбирать  корни 

,  

1,

i

i

n

,  достаточно 

близкие друг к другу и правой границе облас-
ти  расположения  корней,  а  затем  сформиро-
вать желаемое уравнение следующим образом: 

*

*

1

1

( )

(

)

(

)

0

n

C p

p

p



. 

(6.55) 

Im

Re

Im 

Re

Риc. 6.18. К определе-

нию   области   распо-

ложения корней

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

198 

Характеристическое уравнение (6.55) запишем в стандартном виде 

1

1

1

( )

0

n

n

n

C p

p

c

p

c



. 

 (6.56) 

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях опера-

тора  p желаемого  (6.56) и  действительного (6.52)  характеристических 

уравнений системы, запишем выражения для определения неизвестных 

параметров регулятора: 

1

1

2

1

1

2

1

,

,

.

s

s

n

n

n

c

k b

c

a

d

b k

c

a

d



(6.57) 

Полученные из (6.57) расчетные соотношения имеют вид 

1

1

1

,

,

1,

.

s

i

i

i

s i

c

k

d

c

a

k b

i

n

b

(6.58) 

Таким  образом,  мы  определили  параметры  передаточных  функций 

( )

s

W p   и 

( )

d

W

p   регулятора,  обеспечивающего  в  системе  требуемые 

свойства в статике и динамике.  

ПРИМЕР  6.8 

Поведение одноканального объекта описывает передаточная функция 

0

2

5

( )

3

1

W

p

p

p

. 

Требуется синтезировать систему, в которой качество процессов будет 

отвечать следующим требованиям: 

3

n

t

 с; 

0,  

0

0.  

Для определения параметров регулятора используем операторную про-

цедуру модального метода синтеза, расчетная структурная схема которого 

приведена на рис. 6.18. 

В качестве корректора статики используем интегрирующее звено с пе-

редаточной функцией 

( )

s

W

p

k p

, что гарантирует нулевую статическую 

ошибку в системе. С целью обеспечения требуемых динамических свойств 

формируем корректор динамики в виде 

6.5. Модальный метод синтеза 

199 

1

0

( )

5

d

d p

d

W

p

. 

Здесь 

1

0

,   ,  

k d

d   –  неизвестные  коэффициенты  регулятора,  которые  требу-

ется определить. 

Используя  структурные  преобразования,  запишем  характеристическое 

уравнение замкнутой системы (см. рис. 6.17) 

3

2

1

0

( )

(3

)

(

1)

5

0.

A p

p

d

p

d

p

k

Сформируем  теперь  желаемое  характеристическое  уравнение  третьего 

порядка.  Предварительно  выберем  распределение  корней,  обеспечиваю-

щее заданное качество процессов. Поскольку в системе не допускается пе-

ререгулирование, корни должны быть вещественными и располагаться на 
расстоянии  не  ближе 

*

3

1

n

t

  от  мнимой  оси.  В  результате  выберем 

следующие корни: 

*

*

*

1

2

3

2,

2, 5,

3 . 

В соответствии с (6.55) получим желаемое характеристическое уравне-

ние  

3

2

( )

7, 5

18, 5

15

0.

C p

p

p

p

Запишем расчетные соотношения (6.57): 

1

0

3

7,5,

1 18,5,

5

15.

d

d

k

Отсюда находим параметры 

1

0

4,5,

19,5,

3

d

d

k

. Следовательно, пе-

редаточные функции регулятора имеют вид 

3

4, 5

19, 5

( )

,

( )

0, 9

3, 9

5

s

d

p

W

p

W

p

p

p

. 

6.5.5. РЕАЛИЗАЦИЯ  РЕГУЛЯТОРА 

Рассмотрим  возможность  реализации  регулятора,  рассчитанного 

модальным  методом.  Корректор  статики  с  передаточной  функцией 

( )

s

W p ,  представляющий  собой  обычный  интегратор,  не  вызывает  за-

труднений. Остановимся подробнее на реализации звена обратной свя-
зи с передаточной функцией 

( )

d

W

p . 

Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

200 

Поскольку  для  реальных  объектов  управления  степень  полинома 

числителя передаточной функции 

0

( )

W p   обычно  меньше  степени  по-

линома ее знаменателя ( m n ), корректор динамики 

1

1

1

1

1

( )

( )

( )

n

n

d

m

m

m

m

d p

d

D p

W

p

B p

b

p

b p

b





, 

как правило, имеет форсирующий характер. Это означает, что необхо-

димо  реализовать  дифференцирующие  звенья,  которые  усиливают 

влияние высокочастотной помехи. 

С  целью  уменьшения  этого  влияния  предлагается  использовать 

специальный  фильтр,  который  подключается  параллельно  объекту  и 
состоит из модели 

( )

m

W

p  (с выходом  ˆy ) и стабилизирующей добавки 

( )

L p

 (рис. 6.19). Его называют фильтром Калмана–Бьюсси или парал-

лельным фильтром. 

( )

( )

B p

A p

y

( )

L p

€

y

0

( )

W p

u

В(р) 

u

y  

y



А(р) 

L(р) 

W

0

(р) 

u

Рис. 6.19. Схема подключения фильтра 

Здесь передаточная функция параллельной модели 

( )

m

W

p

0

( )

W p . 

Назначение стабилизирующей добавки  ( )

L p

  –  «сводить»  к  нулю  раз-

ницу между выходом объекта у и выходом модели  ˆy . 

Исследуем свойства фильтра, записав выражение для ошибки  

( )

( )

[

( ) ]

( )

( )

B p

B p

u

u

L p

A p

A p

, 

которое после преобразований принимает вид 

( )

( ) ( )

0

A p

B p L p

.