Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Г л а в а  7 

ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

7.1. ВВЕДЕНИЕ 

настоящей  главе  мы  последовательно  рассмотрим  все  вопро-
сы  «линейной»  теории  применительно  к  импульсным  систе-

мам. Теория импульсных систем получила бурное развитие в связи с 
достижениями  цифровой  электроники  и,  в  частности,  с  развитием 
вычислительной  техники,  которая  проникает  во  все  сферы  деятель-
ности  человека  и  используется  повсеместно.  В  последние  годы  тра-
диционные  непрерывные  регуляторы  (контроллеры)  интенсивно  за-
меняются  цифровыми,  поскольку  они  имеют  неоспоримые  преиму-
щества:  компактность,  стабильность  работы,  малое  энергопотреб-
ление,  высокую  точность,  а  также  гибкость  реализации  алгоритмов 
контроля  и  управления,  которая  достигается  простой  заменой  про-
граммного обеспечения. 

Для того чтобы обсуждать свойства импульсных систем автомати-

ческого управления, будем иметь в виду функциональную схему, пока-
занную на рис. 7.1. 

u

О

Контроллер

Ц/А

Таймер

А/Ц

y

v

Рис. 7.1. Функциональная схема импульсной системы  

автоматического управления 

В 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

212 

Основными элементами цифровой системы автоматического управ-

ления (ЦСАУ), как видим, являются: 

•  О – непрерывный объект управления; 
•  контроллер  (микропроцессор,  микроконтроллер,  микроЭВМ, 

ПЭВМ, УВМ); 

•  А/Ц и Ц/А – аналого-цифровой и цифроаналоговый преобра-

зователи, к которым предъявляются требования синхронности и син-
фазности их работы; 

•  таймер,  предназначенный  для  синхронизации  работы  всей  сис-

темы. 

Назначение контроллера – формировать управляющее воздействие, 

обеспечивающее заданное качество работы системы. 

В  дальнейшем  будем  рассматривать  как  одноканальные  объекты 

управления, так и многоканальные, для которых (v, u, y)

m

R

, где v – 

входные задающие сигналы; u – управляющие воздействия; y – выход-
ные, контролируемые переменные объекта управления, доступные из-
мерению; m – число каналов управления в объекте. 

Главная особенность ЦСАУ состоит в том, что управляющие воз-

действия,  формируемые  с  помощью  ЭВМ,  принимают  дискретные 
значения в дискретные моменты времени, т.е. они квантованы как по 
уровню,  так  и  по  времени.  В  дальнейшем  мы  не  будем  учитывать 
квантование  управляющих  воздействий  по  уровню,  поскольку  со-
временные контроллеры имеют достаточно высокую разрядность АЦ 
и  ЦА  и  «вес»  одного  разряда  сопоставим  с  точностью  измерения 
контролируемых  переменных  объекта  управления.  Управляющие 
воздействия  вычисляются  по  заданному  алгоритму  с  помощью  кон-
троллера и передаются на ЦА, который фиксирует значения воздей-
ствий на время, равное шагу квантования Т, т.е. представляют собой 
последовательность  импульсов,  появляющихся  в  фиксированные 
моменты времени. 

7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем 

213 

7.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 

ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

7.2.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

Они  являются  основным  аппаратом  описания  линейных  импульс-

ных  систем.  В  отличие  от  дифференциальных,  где  аргумент  –  непре-

рывное время, в разностных уравнениях аргумент – дискретное время. 

Многоканальный  объект  описывают  разностным  уравнением  в  век-

торно-матричной форме: 

(

)

(

)

(

),

(

)

(

).

x kT

T

Ax kT

Bu kT

y kT

Cx kT

(7.1) 

Здесь  T  –  шаг  квантования,  kT  –  текущий  момент  времени; 

n

x

R   – 

вектор состояния, 

m

u

R  – вектор управляющих воздействий,  n – по-

рядок объекта;  n m ; 

A

 – квадратная матрица действительных коэф-

фициентов;  ,

B C

 – прямоугольные матрицы  действительных коэффи-

циентов, 

m

y

R – выходные переменные системы. 

Разностные  уравнения  связывают  переменные  состояния  системы, 

управление и выход только в фиксированные моменты времени. Часто 

в записи разностного уравнения величину T опускают (так как она за-

дана и неизменна), тогда уравнения выглядят так: 

(

1)

( )

( ),

( )

( ).

x k

Ax k

Bu k

y k

Cx k

 (7.2) 

Эту форму называют основной формой записи разностного уравнения 

или системой разностных уравнений в матричной форме. 

К  формам  (7.1)  и  (7.2)  нужно  приводить  уравнения  движения  ре-

альных импульсных систем (рис. 7.1) с непрерывным объектом.  

Рассмотрим подробно процедуру вывода разностных уравнений и с 

этой  целью  представим  векторно-матричное  описание  линейного  не-

прерывного  многоканального  объекта  на  языке  дифференциальных 

уравнений: 

( )

( )

( ),

( )

( ).

x t

Ax t

Bu t

y t

Cx t



(7.3) 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

214 

С  помощью  понятия  переходной  матрицы,  при  известных  началь-

ных условиях x(0), можно записать решение дифференциального урав-

нения (7.3): 

0

(

)

( )

(0)

( )

t

At

A t

x t

e

x

e

Bu

d . 

Найдем значение вектора состояния при t = T: 

0

(

)

( )

(0)

( )

T

AT

A T

x T

e

x

e

Bu

d . 

Так как значение u фиксировано в течение кванта Т, то 

1

( )

(0)

(0)

AT

AT

x T

e

x

A

e

I Bu

. 

Используя найденное значение x(T) в качестве начальных условий, 

на  основании  последнего  выражения  можно  найти  значение  вектора 

состояния  на  следующем  шаге  x(2T)  и  так  далее.  В  итоге  для  произ-

вольного момента времени получаем 

(

)

(

)

(

),

x kT

T

Ax kT

Bu kT

  (

)

(

),

y kT

Cx kT

где 

1

,

(

) ,

.

AT

AT

A

e

B

A

e

I B

C

C  

Воспользуемся  теперь  разложением  экспоненты  в  ряд  Тейлора  и 

получим соотношения, позволяющие вычислить искомые матрицы: 

1

0

1

,

.

!

!

i i

i

i

i

i

A T

A

T

A

B

B

i

i

 (7.4) 

Количество членов ряда, необходимых для вычисления матриц A 

и  B,  определяется  соотношением  значений  коэффициентов  исход-

ных матриц и шага квантования T, а также заданной точностью вы-

числений. 

В практических расчетах иногда применяют и приближенный спо-

соб  вывода  разностных  уравнений,  основанный  на  аппроксимации 

производных. 

Рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений: 

7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем 

215 

.

dx

x

Ax

Bu

dt



Заменим здесь дифференциалы конечными разностями 

x

Ax

Bu

t

. 

Будем считать, что шаг квантования  T пренебрежимо мал по срав-

нению с темпом процессов в объекте. Тогда можно принять  t T  и 

(

1)

( )

x

x k

x k

, после чего в итоге получим 

(

1)

( )

( )

( )

x k

x k

TAx k

TBu k .  

Если  сравнить  последнее  уравнение  с  уже  полученным  результа-

том,  то  увидим,  что  это  есть  первое  приближение  к  матрицам,  пред-

ставленным уравнениями (7.4). 

ПРИМЕР  7.1 

Выполнить  переход  от  непрерывной  модели,  заданной  в  виде  диффе-

ренциального уравнения 

( )

2 ( ) 3 ( )

( )

2 ( )

x t

x t

x t

u t

u t







, 

к дискретной в виде разностного уравнения, методом конечных разностей 

при заданной величине шага дискретизации по времени T = 0,1 c. 

Перейдем от дифференциалов к конечным разностям 

(

1)

( )

dx

x

x k

x k

dt

t

T

, 

2

2

2

2

2

(

2) 2 (

1)

( )

d x

x

x k

x k

x k

dt

t

T

, 

подставим их в исходное дифференциальное уравнение: 

2

1

2

( (

2) 2 (

1)

( ))

( (

1)

( )) 3 ( )

x k

x k

x k

x k

x k

x k

T

T

1

( (

1)

( ))

2 ( ),

u k

u k

u k

T

при заданном значении шага дискретизации по времени T: