Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

216 

100 (

2) 200 (

1) 100 ( )

20 (

1) 20 ( ) 3 ( )

x k

x k

x k

x k

x k

x k

10 (

1) 10 ( )

2 ( )

u k

u k

u k . 

Приведем подобные и отнормируем последнее выражение, в итоге по-

лучим разностное уравнение 

(

2) 1,8 (

1) 0,83 ( )

0,1 (

1) 0, 08 ( )

x k

x k

x k

u k

u k . 

Порядок разностного уравнения совпадает с порядком исходного диф-

ференциального уравнения. 

ПРИМЕР  7.2 

Выполнить  переход  от  непрерывной  модели,  заданной  в  виде  диффе-

ренциального уравнения из примера 7.1, к разностному уравнению при том 

же шаге дискретизации по времени, используя матричную процедуру. 

Запишем  матрицы  непрерывной  модели,  соответствующие  дифферен-

циальному уравнению: 

0

3

2

;

;

0 1 .

1

2

1

A

B

C

C

Найдем  матрицы  дискретной  модели  в  соответствии  с  выражениями 

(7.4), при этом ограничимся тремя членами ряда: 

2 2

3 3

0,9860

-0,2705

;

0,0902

0,8057

1!

2!

3!

AT

A T

A T

A

I

2

2 3

0,1850

0,0995

1!

2!

3!

I T

AT

A T

B

B

. 

С помощью известной матрицы C и найденных матриц A, B можно пе-

рейти  к  разностному  уравнению,  аналогичному  полученному  в  примере 

7.1, результат следующий: 

(

2) 1,7917 (

1) 0,8188 ( )

0,0995 (

1) 0,0814 ( )

x k

x k

x k

u k

u k .

Как  видим,  коэффициенты  двух  разностных  уравнений  достаточно 

близки, однако дискретная модель из примера 7.2 найдена с более высокой 

точностью. 

7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем 

217 

7.2.2. РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ 

Отличительной особенностью импульсных систем является кванто-

вание управляющего воздействия по времени (рис. 7.2), и это позволя-

ет вводить в рассмотрение новые характеристики, в частности, решет-

чатые функции. 

u

( )

u t

( )

u t

0

2T

T

3T

kT

t

Рис. 7.2. Пример квантованного по времени  

управляющего воздействия 

Если длительность импульсов управления  h

T

, то приближенно 

можно прямоугольные импульсы управления заменить на эквивалент-

ные им взвешенные дельта-функции. Это представление управляюще-

го воздействия будем называть решетчатым (рис. 7.3). 

u

( )

u t

*

( )

u t

0

2T

T

3T

kT

t

Рис. 7.3. Пример решетчатого управляющего  

воздействия 

*

( )

u t  

Такая замена возможна потому, что темп процессов в объектах управ-

ления много медленнее процессов нарастания и спада прямоугольного 

импульса,  а  реакция  динамических  объектов  на  прямоугольный  

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

218 

импульс  и  на  эквивалентную  ему  дельта-функцию будет практически 

одинаковой. 

Управляющее воздействие после обсуждаемой замены можно пред-

ставить в следующем виде: 

*

0

0

( )

( )

( )

(

)

(

) (

),

1c

1c

k

k

u t h

h

u t

u t

t

kT

u kT

t

kT  

где 

*

( )

u t   –  решетчатая  функция;  ( )

u t

  – реальная последовательность 

прямоугольных импульсов. 

Если Ц/А и А/Ц в системе работают синхронно и синфазно, то ве-

личина h может быть любой, поэтому ее можно принять равной 1 с: 

*

0

( )

(

) (

)

( )

k

u t

u kT

t

kT

u t . 

Последнее  выражение  есть  управляющее  воздействие,  представ-

ленное в виде решетчатой функции. Такой вид представления упроща-

ет анализ процессов в линейных импульсных системах. 

7.2.3. ЭКСТРАПОЛЯТОР НУЛЕВОГО ПОРЯДКА 

Управляющее  воздействие  в  большинстве  цифровых  систем  фор-

мируется на выходе ЦА и имеет ступенчатый вид (рис. 7.4). 

u

( )

u t

( )

u t

0

2T

T

3T

kT

t

Рис. 7.4

.

 Пример ступенчатого управления  ( )

u t : 

(пунктиром показано непрерывное управляющее воздействие  ( )

u t ) 

7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем 

219 

Экстраполятором  нулевого  порядка  называют  устройство, 

преобразующее  непрерывный  управляющий  сигнал  ( )

u t

  в  реальное 

ступенчатое  управление  ( )

u t

  (рис.  7.5),  где  ИИЭ  –  идеальный  им-

пульсный  элемент,  преобразующий  непрерывное  управляющее  воз-

действие в решетчатую функцию; ФФ – формирующий фильтр, преоб-

разующий решетчатую функцию в последовательность прямоугольных 

импульсов.  

ИИЭ

ФФ

( )

u t

*

( )

u t

( )

u t

Рис. 7.5. Функциональная схема экстраполятора  

нулевого порядка 

Структурно ИИЭ представлен на рис. 7.6 и реализован на звене ум-

ножения, на один вход которого подается непрерывное управление, а 

на другой – последовательность дельта-функций. 

Умножение

( )

u t

*

*

(

)

( )

u kT

u t

(

)

t

kT

Рис.7.6. Структурное представление  

идеального импульсного элемента 

Для  получения  аналитической  модели  формирующего  фильтра 

графически  представим  прямоугольный  импульс  в  виде  суммы  двух 

ступенчатых  импульсов  (рис.  7.7).  Напомним,  что  единичная  ступен-

чатая функция – это интеграл от дельта-функции. 

kT

kT

T

t

t

( )

u t

(

)

u kT

(

)

u kT

Рис. 7.7. Пример прямоугольного импульса управления 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

220 

Структурная схема модели ФФ представлена на рис. 7.8. 

1 p

pT

e

1 p

( ) ( )

u t

t

( )

(

)

u t

u kT

Рис. 7.8. Структурная схема модели формирующего фильтра.  

Здесь р – оператор дифференцирования 

Как видим, передаточная функция ФФ имеет вид 

ФФ

1

1

1

( )

.

pT

pT

e

W

p

e

p

p

p

(7.5) 

Аналогичный  результат  можно  получить,  используя  преобразова-

ние Лапласа: 

( )

( )

,

0

st

x s

x t e

dt  

где s =   + j  – оператор Лапласа. 

Найдем  преобразование  Лапласа  решетчатого  управляющего  воз-

действия: 

*

0

( )

(

) (

)

k

u t

u kT

t

kT

*

0

( )

(

)

k

kTs

u s

u kT e

.  

(7.6) 

Проделаем  эту процедуру для ступенчатого управляющего воздей-

ствия: 

0

*

ФФ

0

ФФ

( )

(

)(1(

) 1(

(

1) ))

1

( )

(

)

(1

)

( )

( ).

( )

k

kTs

sT

k

u t

u kT

t

kT

t

k

T

u s

u kT e

e

u s W

s

s

W

s



 (7.7) 

Последнее равенство – это преобразование Лапласа для ступенчато-

го управляющего воздействия.