Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 20000
Скачиваний: 136
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем
221
ФФ
( )
W
s
*( )
u t
( )
u t
Рис. 7.9. Структурная схема
формирующего фильтра
На рис. 7.9 показано структурное представление формирующего
фильтра, а на рис. 7.10 приведена структурная схема системы с экст-
раполятором нулевого порядка.
ИИЭ
ИИЭ
ФФ
( )
W
s
О
( )
W
s
( )
u t
( )
*
u t
( )
u t
( )
y t
( )
*
y t
( )
W s
Рис. 7.10. Структурная схема системы с экстраполятором
нулевого порядка
Последовательное соединение формирующего фильтра и объекта
называют приведенной непрерывной частью (ПНЧ), ее передаточная
функция
ФФ
О
( )
( )
( )
W s
W
s W
s .
7.2.4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Такое преобразование используют для установления операторной
связи между решетчатым входом
*
( )
u t и решетчатым выходом систе-
мы
*
( )
y t , показанной на рис. 7.10 (второй ИИЭ на выходе объекта не-
обходим для получения выходного сигнала в виде решетчатой функ-
ции). Решетчатый вход имеет вид
*
0
( )
(
) (
)
k
u t
u kT
t
kT .
Реакция линейного объекта (в данном случае ПНЧ) на дельта-
функцию есть импульсная переходная функция (ИПФ) g(t) (см. главу 2,
разд. 2.4). Поскольку на вход ПНЧ действует последовательность
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
222
дельта-функций, в соответствии с принципом суперпозиции выход ПНЧ
представляет собой сумму реакций на последовательность дельта-функ-
ций, т. е. сумму импульсных переходных функций
0
( )
(
) (
)
k
y t
u kT g t
kT .
Далее непрерывный выходной сигнал преобразуется в решетчатый
по известной процедуре:
*
0
0
( )
(
) (
) (
)
n
k
y t
u kT g nT
kT
t
nT .
К решетчатому выходу
*
( )
y t применяется преобразование Лапласа.
В итоге получаем изображение решетчатого выхода
*
( )
y s :
*
0
0
( )
(
) (
)
,
nTs
n
k
y s
u kT g nT
kT e
где g(t) – импульсная переходная функция ПНЧ.
Введем новую переменную q = n – k, тогда n = q + k,
*
(
)
0
0
0
( )
(
) (
)
(
)
(
)
.
q k Ts
qTs
kTs
q
k k
q
k
y s
u kT g qT e
g qT e
u kT e
Напомним, что ИПФ равна нулю при отрицательных значениях ар-
гумента, при выводе было использовано это свойство. В итоге получим
*
*
0
( )
(
)
( )
qTs
q
y s
g qT e
u s .
Операторное соотношение, связывающее изображения решетчатого
входа и решетчатого выхода, есть дискретная передаточная функция
*
0
( )
(
)
qTs
q
W
s
g qT e
.
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем
223
Введем новый оператор
sT
e
z
и назовем его оператором сдвига на
шаг вперед, тогда изображение по Лапласу управляющего сигнала
(7.6) можно представить в виде z-изображения
0
( )
(
)
k
k
u z
u kT z
,
(7.8)
а дискретная передаточная функция принимает вид
0
( )
(
)
q
q
W z
g qT z
.
Последовательно выполняя операторные преобразования ИПФ, по-
строим цепочку выводов:
1
1
1
1
O
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
1
( )
( )
( )
( )
qT
qT
g t
L
W s
g qT
L
W s
W z
g qT
z
W z
L
W s
W z
Z
W
s
s
1
O
( )
( )
(1
)
.
W
s
W z
z
Z
s
(7.9)
Последнее равенство в этой цепочке (7.9) и есть рабочее соотноше-
ние для нахождения дискретной передаточной функции непрерывного
объекта, при условии, что на его входе и выходе стоят экстраполяторы
нулевого порядка.
Основные теоремы Z-преобразования приведены в приложении 1,
а таблица Z-преобразования – в приложении 2.
ПРИМЕР 7.3
Задана передаточная функция непрерывного объекта
O
2
2
( )
0, 04
0,5
1
W
s
s
s
.
Необходимо найти дискретную передаточную функцию ( )
W z при шаге
дискретизации по времени T = 0,02 с.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
224
Предварительно произведем разложение передаточной функции
O
( )
W
s
s
на сумму простых дробей:
O
2
( )
1
2
2
2
1
8
1
3
10
3
2,5
0, 04
0,5
1
W
s
s
s
s
s
s
s
s
.
Воспользуемся выражением (7.9), таблицей Z-преобразования (см. при-
ложение) и получим
O
( )
1
1
2
2
1
8
1
( )
*
*
3
10
3
2,5
W
s
z
z
W z
Z
Z
z
s
z
s
s
s
10
2,5
2
1
2
8
0, 0092
0, 0085
2
1
3
3
1, 77
0, 7788
T
T
z
z
z
z
z
z
z
z
e
z
e
z
z
.
Дискретная передаточная функция имеет второй порядок, такой же, как
и исходная непрерывная передаточная функция
7.2.5. ДИСКРЕТНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Дискретную передаточную функцию объекта найдем, используя
систему разностных уравнений (7.2), по аналогии с непрерывной пере-
даточной функцией (см. главу 2, разд. 2.6).
Если запишем уравнение состояния в операторной форме
( )
( )
( )
zx z
Ax z
Bu z
,
из которого можно определить вектор состояния
1
( )
(
)
( )
x z
zI
A
Bu z ,
то второе уравнение системы (7.2) позволяет найти вектор выхода
1
( )
(
)
( )
y z
C zI
A
Bu z .
Матрица взаимосвязи между вектором выходных переменных и векто-
ром управляющих воздействий в последнем выражении есть матрич-
ная передаточная функция
1
( )
(
)
W z
C zI
A
B ,
(7.10)
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем
225
которая имеет размерность
m m
11
1
1
( )
...
( )
( )
...
...
...
( ) ...
( )
m
mm
m
W
z
W
z
W z
W
z
W
z
,
где
( )
ij
W
z – скалярная передаточная функция, связывающая управ-
ляющее воздействие
( )
i
u z и выходную переменную
( )
j
y z ,
1,
i
m
,
1,
j
m .
Представим нормированную передаточную функцию одноканаль-
ного объекта в виде отношения полиномов числителя B(z) и знамена-
теля A(z):
1
1
1
0
1
1
1
0
...
( )
( )
( )
...
n
n
n
n
n
b
z
b z
b
B z
W z
A z
z
a
z
a z
a
.
(7.11)
Нормирование передаточной функции состоит в том, что коэффи-
циент при старшей степени оператора z в знаменателе равен единице.
Отметим очень важное свойство дискретной передаточной функ-
ции: порядок полинома числителя у большинства объектов равен
(n–1), где n – порядок объекта. Исключением из этого правила явля-
ются объекты, исходная непрерывная передаточная функция кото-
рых имеет полиномы числителя и знаменателя одинакового порядка,
дискретная передаточная функция в этом случае также будет иметь
полиномы числителя и знаменателя одинакового порядка, равного
порядку объекта n:
1
1
1
0
1
1
1
0
...
( )
( )
( )
...
n
n
n
n
n
n
n
b z
b
z
b z
b
B z
W z
A z
z
a
z
a z
a
.
Коэффициент передачи объекта в статике K
0
можно найти, используя
теорему о конечном значении
1
0
0
1
1
1
0
( )
lim
( )
lim
( )
1
n
i
i
n
z
z
j
j
b
B z
K
W z
A z
a
.