Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

226 

Перейдем  от  передаточной  функции  к  разностному  уравнению  и  для 

этого рассмотрим соотношение 

( )

( ) ( )

y z

W z u z

. 

(7.12) 

Подставим в (7.12) передаточную функцию (7.11) и запишем разност-

ное уравнение в операторной форме 

1

1

1

0

( )

( ) ...

( )

( )

n

n

n

z y z

a

z

y z

a zy z

a y z

1

1

1

0

( ) ...

( )

( )

n

n

b

z

u z

b zu z

b u z . 

(7.13) 

Используя  теоремы  Z-преобразования,  можно  перейти  от  (7.13)  к 

обычному разностному уравнению в дискретном времени 

1

1

0

(

)

(

1) ...

(

1)

( )

n

y k

n

a

y k

n

a y k

a y k

1

1

0

(

1) ...

(

1)

( )

n

b

u k

n

b u k

b u k . 

(7.14) 

Сдвигом аргумента можно преобразовать (7.14): 

1

1

0

( )

(

1) ...

(

1)

(

)

n

y k

a

y k

a y k

n

a y k

n

1

1

0

(

1) ...

(

1)

(

)

n

b

u k

b u k

n

b u k

n . 

Как видим, текущее значение  y(k) зависит от n предыдущих зна-

чений  y(i)  и  u(i),  что  можно  назвать  свойством  памяти  динамиче-

ских систем. 

ПРИМЕР  7.4 

Найти дискретную передаточную функцию по заданной системе разно-

стных уравнений: 

1

1

2

2

1

2

1

2

(

1)

( )

( )

( ),

(

1)

2 ( )

( )

2 ( ),

( )

( )

2

( ).

x k

x k

x k

u k

x k

x k

x k

u k

y k

x k

x k

Запишем матрицы А, В, С дискретной модели: 

1

1

2

1

A

; 

1

2

B

; 

1 2

C

. 

7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем 

227 

Дискретную  передаточную  функцию  для  заданной  системы  разностных 
уравнений найдем по выражению (7.10). Сделаем это поэтапно: 

1) 

1

1

2

1

z

zI

A

z

; 

2)

2

2

det

(

1)

2

2

3

zI

A

z

z

z

; 

3) 

1

2

1

1

1

2

1

2

3

z

zI

A

z

z

z

; 

4) 

2

1

1

1

1

( )

1 2

2

1

2

2

3

z

W z

z

z

z

2

2

1

1

5

3

3 2

3

2

2

3

2

3

z

z

z

z

z

z

z

. 

Передаточная  функция  имеет  второй  порядок,  такой,  как  порядок  ис-

ходного разностного уравнения. 

ПРИМЕР  7.5 

Перейти  от  дискретной  передаточной  функции  W(z)  к  разностному 

уравнению, где 

2

3

2

0, 4

0,3

0, 2

( )

0, 6

0,9

1, 2

z

z

W z

z

z

z

. 

Поскольку передаточная функция есть отношение изображения выход-

ного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных ус-

ловиях, разностное уравнение в операторной форме имеет вид 

3

2

2

(

0, 6

0, 9

1, 2) ( )

(0, 4

0, 3

0, 2) ( )

z

z

z

y z

z

z

u z . 

Воспользуемся  теоремами  Z-преобразования  и  получим  разностное 

уравнение в дискретном времени 

(

3) 0, 6 (

2) 0,9 (

1) 1, 2 ( )

y k

y k

y k

y k

0, 4 (

2) 0,3 (

1) 0, 2 ( )

u k

u k

u k

. 

Как  видим,  порядок  разностного  уравнения 

n 

=  3  и  совпадает  с  по-

рядком исходной передаточной функции. 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

228 

7.2.6. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 

Обратное  Z-преобразование  дает  возможность  перейти  от  изобра-

жения y(z) к значениям y(kT) только в фиксированные моменты време-

ни, соответствующие шагу квантования. При этом обратное Z-преобра-

зование не дает ответа на вопрос, как изменяется значение y(t) между 

этими точками (рис. 7.11). 

Предположим, что изображение исследуемого сигнала y(z) известно 

и  имеет  вид  правильной  дроби.  Разделим  числитель  этой  дроби  на 

знаменатель и получим бесконечный ряд: 

1

0

1

( )

...

...

k

k

y z

c

c z

c z

 . 

(

)

y kT

0

2T

T

3T

kT

*

*

*

*

*

*

*

*

*

4T

t

*

Рис. 7.11. Пример восстановленного сигнала 

 
Запишем изображение для исследуемого сигнала по аналогии с по-

лученным ранее изображением для управляющего сигнала (7.8): 

0

( )

(

)

k

k

y z

y kT z

. 

Сравнивая два последних равенства, получим: 

0

1

(0)

,

(1)

, ... ,

( )

, ...

k

y

c

y

c

y k

c

. 

Обратное  Z-преобразование  позволяет  получить  оригинал  по  изобра-
жению, но только в фиксированные моменты времени. 

7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем 

229 

7.2.7. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ  

ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 

Рассмотрим  некоторые  правила  преобразования  структурных  схем 

линейных дискретных систем. 

1

( )

W z

y

u

2

( )

W z

1

x

Рис. 7.12. Последовательное соединение  

звеньев 

Правило:  передаточная  функция  последовательного  соединения 

звеньев  (рис.  7.12)  равна  произведению  передаточных  функций  этих 
звеньев 

1

2

( )

( )

( )

W z

W z W z . 

1

( )

W s

2

( )

W s

ЭНП

u

y

1

x

u

Рис. 7.13. Последовательное соединение двух непрерывных  

звеньев 

Правило:  передаточная  функция  последовательного  соединения 

двух  непрерывных  звеньев,  не  разделенных  экстраполятором  
(рис. 7.13), равна Z-преобразованию произведения передаточных функ-
ций этих звеньев 

1

1

2

( )

( )

( )

1

.

W s W s

W z

z

Z

s

1

( )

W s

2

( )

W s

ЭНП

y

u

ЭНП

u

1

x

1

x

Рис. 7.14. Последовательное соединение двух непрерывных  

звеньев, разделенных экстраполяторами 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

230 

Правило:  передаточная  функция  последовательного  соединения 

двух  непрерывных звеньев, разделенных экстраполятором (рис. 7.14), 
равна произведению их дискретных передаточных функций 

1

2

( )

( )

( )

W z

W z W z , 

экстраполяторы должны работать синхронно и синфазно. 

ЭНП2

( )

W s

ЭНП3

v

u

y

ЭНП1

e

y

v

Рис. 7.15. Звено, охваченное обратной связью 

( )

( )

1

( )

W z

W z

W z

.

Правило: передаточная функция системы с отрицательной обратной 

связью (рис. 7.15) равна дроби, в числителе которой стоит дискретная 
передаточная  функция  звена,  охваченного  обратной  связью  W(z),  а 
знаменатель  представляет  собой  сумму  единицы  и  той  же  передаточ-
ной функции. 

7.2.8. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ  

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 

 
В  соответствии  с  разностным  уравнением  объекта  в  матричной 

форме (7.2) можно построить его структурную схему (рис. 7.16). 

1

Z

B

C

A

( )

y k

( )

u k

( )

x k

(

1)

x k

Рис. 7.16. Структурная схема объекта, соответствующая  

матричным уравнениям