Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 20002
Скачиваний: 136
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем
231
Запишем систему уравнений (7.2) для одноканального объекта в
скалярной форме
1
11 1
12 2
1
1
2
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
(
1)
( )
( ) ...
( )
( ),
(
1)
( )
( ) ...
( )
( ),
(
1)
( )
( ) ...
( )
( ),
( )
( )
( ) ...
( ).
n n
n n
n
n
n
nn n
n
n n
x k
a x k
a x k
a x k
b u k
x k
a x k
a x k
a x k
b u k
x k
a x k
a x k
a x k
b u k
y k
c x k
c x k
c x k
(7.15)
Системе уравнений (7.15) соответствует структурная схема, пред-
ставленная на рис. 7.17.
y(k)
1
z
11
a
1n
a
1
c
1
b
1
z
1
n
a
nn
a
n
c
n
b
...
1
( )
x k
( )
n
x k
1
(
1)
x k
(
1)
n
x k
...
...
...
...
...
...
u(k)
Рис. 7.17. Структурная схема, соответствующая уравнениям (7.15)
Подобную структурную схему можно построить для многоканаль-
ного объекта. Для этого необходимо систему уравнений (7.2) записать
в скалярной форме, аналогичной (7.15).
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
232
7.2.9. ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
К СТРУКТУРНЫМ СХЕМАМ
Рассмотрим первый вариант перехода к структурной схеме от пере-
даточной функции
1
1
1
0
1
1
1
0
...
( )
( )
( )
...
n
n
n
n
n
b
z
b z
b
y z
W z
u z
z
a
z
a z
a
.
(7.16)
Передаточную функцию (7.16) представим в виде произведения
двух передаточных функций
1
( )
( )
( )
W z
B z
A z
1
1
1
0
1
1
1
0
1
...
...
n
n
n
n
n
b
z
b z
b
z
a
z
a z
a
.
(7.17)
Введем новую переменную ( )
z
, как показано на рис. 7.18:
)
(z
u
)
(z
)
(z
y
)
(
1
z
A
)
(z
B
Рис. 7.18. Структурное представление
системы (7.17)
Для каждого из звеньев запишем операторное уравнение
1
1
1
0
1
2
1
2
1
0
...
( )
( ),
( )
...
( ).
n
n
n
n
n
n
n
z
a
z
a z
a
z
u z
y z
b
z
b
z
b z
b
z
(7.18)
От операторной формы уравнений (7.18) перейдем к их записи в
дискретном времени:
0
1
1
1
2
1
0
(
)
( )
( )
(
1) ...
(
1),
( )
(
1)
(
2) ...
(
1)
( ).
n
n
n
k
n
u k
a
k
a
k
a
k
n
y k
b
k
n
b
k
n
b
k
b
k
(7.19)
По уравнениям (7.19) построена структурная схема рис. 7.19. Полу-
ченная структурная схема позволяет перейти к модели системы
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем
233
в переменных состояния. Выход каждого звена задержки обозначим
как переменную состояния
1
2
( )
( ),
( )
(
1),
( )
(
1)
n
x k
k
x k
k
x k
k
n
,
это позволяет представить разностные уравнения (7.19) в виде
1
2
2
3
0 1
1 2
1
0 1
1 2
2
1
1
(
1)
( ),
(
1)
( ),
(
1)
( )
( )
( )
( ),
( )
( )
( )
( )
( ).
n
n
n
n
n
n
n
x k
x k
x k
x k
x k
a x k
a x k
a
x k
u k
y k
b x k
b x k
b
x
k
b
x k
(7.20)
1
z
1
z
...
1
n
a
1
a
0
a
0
b
1
b
1
n
b
...
...
y(k)
u(k)
ε(
)
k
n
ε( )
k
ε(
1)
k
ε(
1)
k
n
1
z
Рис. 7.19. Структурное представление передаточной функции в соответствии
с системой уравнений (7.19)
Систему разностных уравнений (7.20) можно представить в вектор-
но-матричной форме (7.2) с матрицами
0
1
2
1
0
1
2
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
,
,
0
0
0
1
0
1
n
n
n
A
B
C
b
b
b
b
a
a
a
a
.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
234
Модель системы в переменных состояния (7.20) будем называть
«прямой» формой (в литературе встречается другое название – «первая
каноническая форма»).
Рассмотрим второй вариант перехода к структурной схеме от пере-
даточной функции (7.16), для чего запишем соответствующее ей раз-
ностное уравнение в операторной форме
1
1
1
1
0
1
1
0
...
( )
...
( )
n
n
n
n
n
z
a
z
a z
a
y z
b
z
b z
b u z . (7.21)
Перейдем к записи уравнения (7.21) в дискретном времени:
0
0
1
1
(
)
( )
( )
(
1)
(
1)
y k
n
a y k
b u k
a y k
b u k
1
1
(
1)
(
1)
n
n
a
y k
n
b
u k
n
.
(7.22)
В уравнении (7.22) сдвинем аргумент на один шаг назад:
0
0
1
1
(
1)
(
1)
(
1)
( )
( )
y k
n
a y k
b u k
a y k
b u k
1
1
(
2)
(
2)
n
n
a
y k
n
b
u k
n
и введем новую переменную
1
0
0
( )
(
1)
(
1)
x k
a y k
b u k
, тогда
1
1
1
1
1
(
1)
( )
( )
( )
(
2)
(
2).
n
n
y k
n
x k
a y k
b u k
a
y k
n
b
u k
n
Процедуру сдвига аргумента и замены переменной выполним n раз.
В новом базисе разностное уравнение (7.22) можно представить в век-
торно-матричной форме
1
0
0
1
1
1
(
1)
( )
( ),
(
1)
( )
( )
( ),
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
x k
a x k
b u k
x k
x
k
a
x k
b
u k
y k
x k
(7.23)
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем
235
с соответствующими матрицами
0
0
1
1
2
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
,
,
0
0
0 1
0
0
0
n
n
n
a
b
a
b
a
A
B
C
b
a
b
.
Модель системы в переменных состояния (7.23) будем называть
«транспонированной» формой.
По уравнениям (7.23) построена структурная схема (рис. 7.20).
1
z
1
z
...
1
n
a
1
a
0
a
1
n
b
...
...
( )
( )
n
x k
y k
(
1)
n
x k
1
z
1
( )
x k
1
(
1)
x k
2
( )
x k
( )
u k
1
b
0
b
2
(
1)
x k
1
( )
n
x
k
Рис. 7.20. Структурное представление передаточной функции в соответствии
с системой уравнений (7.23)
ПРИМЕР 7.6
Задано линейное разностное уравнение, необходимо перейти к системе
разностных уравнений
0,5 (
2) 1, 2 (
1) 1,5 ( )
0, 4 (
1)
( )
y k
y k
y k
u k
u k .