Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

236 

Исходное  разностное  уравнение  приведем  к  нормированному  виду,  для 

этого коэффициент перед  y(k + 2) должен быть равен единице: 

(

2)

2, 4 (

1) 3 ( )

0,8 (

1)

2 ( )

y k

y k

y k

u k

u k

, 

далее разрешим это уравнение относительно y(k + 2): 

(

2)

2, 4 (

1) 3 ( ) 0,8 (

1)

2 ( )

y k

y k

y k

u k

u k

. 

Выполним сдвиг аргумента в последнем уравнении назад на один шаг: 

(

1)

3 (

1)

2 (

1) 2, 4 ( ) 0,8 ( ),

y k

y k

u k

y k

u k

введем новую переменную 

1

( )

3 (

1)

2 (

1)

x k

y k

u k

, тогда 

1

(

1)

( ) 2, 4 ( ) 0,8 ( )

y k

x k

y k

u k

. 

Процедуру сдвига аргумента и замены переменной выполним для послед-

него уравнения еще раз: 

1

( )

(

1) 2, 4 (

1) 0,8 (

1)

y k

x k

y k

u k

, 

2

( )

( )

y k

x k

. 

Запишем систему разностных уравнений для новых переменных х

1 

и

х

2 

: 

1

2

2

1

2

2

(

1)

3

( )

2 ( ),

(

1)

( )

2, 4

( )

0,8 ( ),

( )

( ).

x k

x k

u k

x k

x k

x k

u k

y k

x k

В  итоге  получаем  систему  разностных  уравнений  в  «транспонированной» 

форме. 

7.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ 

ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ 

Свойство  устойчивости  для  линейных  импульсных  систем,  как  и 

для  линейных  непрерывных,  определяется  только  ее  параметрами  и 

означает, что выходной сигнал будет ограниченным при ограниченном 

входном воздействии, независимо от начальных условий. 

Устойчивость  –  свойство  объекта  или  системы  с  течением  вре-

мени приходить в равновесное состояние. 

Равновесное  состояние  –  такое  состояние,  в  котором  все  пере-

менные состояния неизменны. 

7.3. Устойчивость линейных импульсных систем 

237 

Запишем  исходную  систему  разностных  уравнений  для  объекта 

управления: 
 

(

1)

( )

( ),

x k

Ax k

Bu k

(7.24) 

полагаем  при  этом,  что  управляющее  воздействие  неизменно  и  огра-

ниченно: 
 

(0)

(1)

...

(

)

const

u

u

u k

n

u

. 

Поскольку в состоянии равновесия все переменные состояния в вы-

ражении (7.24) неизменны, уравнение равновесия принимает вид 

0

0

x

Ax

Bu , 

(7.25) 

где 

0

x  – положение равновесия.  

Введем  новые  координаты 

0

( )

( )

k

x k

x   –  отклонение  от  поло-

жения равновесия. Пример движения  системы в отклонениях к поло-

жению равновесия приведен на рис. 7.21. 

( )

n

k

1

( )

k

)

0

(

Рис.  7.21.  Пример  движения  системы  

в отклонениях к положению равновесия 

Преобразуем исходное уравнение (7.24) в уравнение в отклонениях 

от положения равновесия: 

0

0

0

0

0

0

0

0

( )

( )

(

1)

(

1)

,

   (

1)

( )

,

  (

1)

( )

.

x k

k

x

x k

k

x

k

x

A

k

x

BU

k

A

k

Ax

BU

x

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

238 

Последняя скобка равна нулю в состоянии равновесия в соответст-

вии с (7.25), поэтому 
 

(

1)

( ).

k

A

k  

(7.26) 

Как  видим,  разностное  уравнение  объекта  в  отклонениях  от  поло-

жения  равновесия  (7.26)  получилось  однородным,  не  зависящим  от 
управляющего воздействия, следовательно, переходные процессы по   

порождаются только ненулевыми начальными условиями. 

7.3.1. ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 

Линейная импульсная система (7.26) является устойчивой, если 

для ее процессов выполняется условие 

lim

( )

0

k

k

. 

(7.27) 

Утверждение: для того чтобы линейная импульсная система была 

устойчивой,  необходимо  и  достаточно,  чтобы  модули  собственных 

чисел матрицы А были меньше единицы: 

|

| 1;

1,

i

z

i

n , 

где 

i

z   –  собственные  числа  матрицы  A  (корни  характеристического 

уравнения). 
Докажем  это  утверждение,  для  чего  запишем  характеристическое 
уравнение объекта 

1

1

1

0

( )

det(

)

0

n

n

n

A z

zI

A

z

a

z

a z

a

. 

Будем  искать  частные  решения  разностного  уравнения  в  отклоне-

ниях от положения равновесия (7.26) в виде 

( )

k

i

i

i

k

z

, 

(7.28) 

где 

i

z   –  корень  характеристического  уравнения; 

1

...

i

i

in

  –  соответ-

ствующий этому корню собственный вектор. 

7.3. Устойчивость линейных импульсных систем 

239 

Общее  решение  разностного  уравнения  (7.26)  представляет  собой 

линейную комбинацию частных решений (7.28) и имеет вид 

1

( )

n

k

i i

i

i

k

C z

. 

(7.29) 

Как следует из анализа выражения (7.29), для выполнения предель-

ного соотношения (7.27) необходимо, чтобы каждая компонента обще-

го  решения  разностного  уравнения  стремилась  к  нулю,  тогда  и  вся 

сумма будет стремиться к нулю. 

Если все корни характеристического уравнения по модулю меньше 

единицы, то выполняется условие 

lim

0,

1,

k

i

k

z

i

n

и, следовательно, выполняется соотношение (7.27), что и требовалось 

доказать. 

Для  нахождения  собственных  векторов 

i

  частное  решение  (7.28) 

подставим в однородное разностное уравнение (7.26): 

1

k

k

i

i

i

i

z

Az

 , 

из которого следует 

(

)

0

i

i

z I

A

. 

(7.30) 

Поскольку  в  выражении (7.30) матрица в круглых  скобках вырож-

денная (так как z

i

  –  собственное  число  матрицы  A),  для  вектора 

i

  су-

ществует  бесконечное  множество  решений.  Для  нахождения  любого 

из них произвольно задают одну из компонент этого вектора. Из сис-

темы  исходных  уравнений  исключают  зависимое  уравнение,  осталь-
ные компоненты вектора 

i

 находят по сформированной системе урав-

нений (n

 1)-го порядка. 

Для  нахождения  неизвестных  констант  С

i 

используют  начальные 

условия: 

0

1

(0)

.

n

i i

i

i

C z

Это система из  n  уравнений для нахождения констант 

,

1,

i

C

i

n . 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

240 

7.3.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ  

ОБЩЕГО УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 

 
Изобразим  плоскость  корней  линейной  импульсной  системы 

(рис. 7.22). 

Очевидно, линейная импульсная система (ЛИС) устойчива, если все 

ее корни лежат в круге единичного радиуса. 

Im z

Re z

1

1

j

j

Рис 7.22. Область устойчивости  

в пространстве корней 

Процедура анализа устойчивости линейной импульсной системы: 
1) записать характеристическое уравнение det(zI – A) = 0; 
2) найти корни 

i

z . 

3) проанализировать 

i

z  по критерию |

i

z |< 1, 

1, .

i

n  

7.3.3. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 

Для анализа устойчивости ЛИС можно взять уже известные крите-

рии из теории линейных непрерывных систем (см. главу 4). Для этого 
необходимо  воспользоваться  преобразованием,  отображающим  круг 
единичного  радиуса  плоскости  корней  ЛИС  в  левую    полуплоскость  
комплексной  плоскости  псевдокорней     (рис. 7.23).