Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 20008
Скачиваний: 136
7.3. Устойчивость линейных импульсных систем
241
Re z
Im z
Im
Re
Рис. 7.23. Отображение корней на плоскость псевдокорней
Аналитически такое преобразование выглядит следующим образом:
1
1
,
.
1
1
z
z
z
Процедура использования билинейного преобразования:
1) записать характеристическое уравнение линейной импульсной
системы
1
1
1
0
...
0
n
n
n
z
a
z
a z
a
;
2) заменить в этом уравнении z на
:
1
1
1
0
1
1
1
...
0
1
1
1
n
n
n
a
a
a
;
3) привести полученное уравнение к общему знаменателю и при-
равнять числитель нулю:
1
1
1
0
...
0
n
n
n
a
a
a
;
4) к полученному уравнению применить критерий Гурвица
(см. подразд. 4.2.1).
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
242
ПРИМЕР 7.7
Модель дискретной системы задана линейным разностным уравнением
4 (
2)
( )
10 ( )
y k
y k
u k
.
Необходимо оценить устойчивость системы.
Р е ш е н и е
Способ 1. Корни характеристического уравнения системы должны
удовлетворять условию
1
i
z
. Характеристическое уравнение заданной
системы имеет вид
2
0, 25
0
z
, его корни
1,2
0,5
1
z
удовлетворяют
общему условию устойчивости, следовательно, дискретная система устой-
чива.
Способ 2. Выполним билинейное преобразование
1
1
z
для характе-
ристического уравнения системы, к полученному уравнению применим
критерий Гурвица:
2
0, 25
0
z
2
1
0, 25
0
1
2
2
1
0, 25(1
)
0
2
0, 75
2,5
0, 75
0
.
Поскольку все коэффициенты в последнем уравнении положительны, в со-
ответствии с критерием Гурвица система устойчива.
7.3.4. УТВЕРЖДЕНИЕ КОТЕЛЬНИКОВА–ШЕННОНА
Запишем изображение по Лапласу решетчатого сигнала x
*
(t):
*
*
0
( )
(
)
( ).
kTs
k
L x t
x kT e
x s
Частотную характеристику решетчатого сигнала получаем заменой
s
j :
*
0
(
)
(
)
j kT
k
x
j
x kT e
.
(7.31)
7.3. Устойчивость линейных импульсных систем
243
Учтем, что экспонента с мнимым показателем степени – периоди-
ческая функция:
cos
sin
cos(
2 )
sin(
2 ),
0,
1,
2,...
j T
e
T
j
T
T
j
T
Введем новую переменную
0
2
T
, где Т – шаг квантования, тогда
последнее выражение примет вид
0
(
)
0
0
cos(
)
sin(
)
.
jT
j T
e
T
T
j
T
T
e
(7.32)
Выражение (7.32) позволяет сделать вывод, что частотная характе-
ристика решетчатого сигнала – периодическая функция (рис. 7.24) с
периодом, равным
0
:
*
*
0
(
)
( (
))
x
j
x
j
.
*
( ω)
x
j
0
0
Рис. 7.24. Спектральная характеристика
решетчатого сигнала
Найдем частотную характеристику исходного непрерывного сигнала:
0
(
)
( )
.
j t
x j
x t e
dt
(7.33)
Заменим точное интегральное соотношение (7.33) на приближенное
в виде суммы:
0
(
)
(
)
;
j k t
k
x j
x k t e
t
если шаг квантования достаточно мал, то можно t заменить на T:
0
(
)
(
)
j kT
k
x j
x kT e
T .
(7.34)
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
244
Спектральная характеристика решетчатого сигнала x (j ) (7.31)
повторяет спектральную характеристику непрерывного x(j ) (7.34)
с точностью до константы, но является периодической с периодом
0
(рис. 7.24).
Будем считать, что спектр непрерывного сигнала ограничен:
max
max
max
max
(
)
0,
;
(
)
0,
,
.
x j
x j
Спектральные характеристики решетчатых сигналов для различных
соотношений частот
0
и
max
приведены на рис. 7.25.
0
0
max
max
*
( ω)
x j
а
0
max
max
*
( ω)
x j
б
?
max
max
*
( ω)
x j
в
Рис. 7.25. Частотные характеристики решетчатого сигнала
7.3. Устойчивость линейных импульсных систем
245
На рис. 7.25, а представлен случай, когда
max
<
0
/2, а на рис. 7.25, б –
соотношение между этими частотами иное:
max
>
0
/2.
Поставим задачу восстановить непрерывный сигнал из решетчато-
го. Эту задачу можно решить с помощью идеального фильтра (ИФ) с
прямоугольной частотной характеристикой, изображенной на рис. 7.25
штрихпунктирной линией. Схема такого эксперимента иллюстрирует-
ся структурой, приведенной на рис. 7.26.
Как видим, при
max
<
0
/2 (рис. 7.25, а) это сделать удастся. В слу-
чае, когда
max
>
0
/2 (рис. 7.25, б), это невозможно, что подтверждает
рис. 7.25, в, на котором показана спектральная характеристика сигна-
ла, восстановленного с помощью ИФ.
ИИЭ
ОУ
ИФ
ˆ( )
x t
( )
u t
*
( )
x t
( )
x t
Рис. 7.26. Схема восстановления непрерывного сигнала из решетчатого
Таким образом, можно сделать вывод: для того чтобы восстановить
непрерывный сигнал из квантованного с помощью идеального фильт-
ра (ИФ) с прямоугольной частотной характеристикой, необходимо вы-
полнить соотношения
0
max
max
1
2
или
.
2
T
f
(7.35)
Последнее соотношение и есть формулировка утверждения Котель-
никова–Шеннона.
Если неравенство (7.35) выполняется, то можно говорить о том, что
шаг квантования достаточно мал. При таком шаге квантования выход
объекта будет «гладким» несмотря на ступенчатый вид управляющего
воздействия.
7.3.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТАСТИНА
Это преобразование позволяет получить дискретную передаточную
функцию линейного объекта из его исходной непрерывной передаточ-
ной функции:
( )
( )
( )
B p
W p
A p
.