Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 20007
Скачиваний: 136
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
246
При малом шаге квантования справедлива следующая замена пере-
менной:
2
1
1
z
p
T z
.
(7.36)
Обоснования
1. Запишем аналитическое выражение, связывающее операторы p и
z, а затем разложим логарифм в ряд Тейлора:
3
3
1
2
1
(
1)
,
ln
...
1
3(
1)
pT
z
z
z
e
p
z
T
T
z
z
.
В последнем выражении отбросим все члены ряда, кроме первого.
2. Воспользуемся методом трапеций для аппроксимации процедуры
интегрирования (рис. 7.27).
1
i
i
t
)
t
(
u
Рис. 7.27. Иллюстрация метода трапеций для аппроксимации
процедуры интегрирования
Запишем значение интеграла, найденное по методу трапеций для
моментов времени k и k – 1, соответственно это будут функции y(k)
и y(k – 1):
1
1
1
1
( )
( )
(
1) ,
2
1
(
1)
( )
(
1) .
2
k
i
k
i
y k
T
u i
u i
y k
T
u i
u i
7.3. Устойчивость линейных импульсных систем
247
Для того чтобы избавиться от суммы, вычтем одно из другого и пе-
репишем полученное выражение в операторной форме:
1
1
( )
(
1)
( )
(
1) ,
2
( )
( )
( ( )
( )
).
2
T
y k
y k
u k
u k
T
y z
y z z
u z
u z z
Найдем отношение изображений (напомним, что y – это интеграл от u):
( )
1
( )
1
2
1
( )
2
1
( )
1
y z
T z
y p
z
p
u z
z
u p
p
T z
.
ПРИМЕР 7.8
Модель непрерывной динамической системы задана передаточной
функцией
5
( )
1
W p
p
.
Используя преобразование Тастина, найти дискретную модель объек-
та, записать ее передаточную функцию. Шаг дискретизации по времени
Т = 0,1 с.
В соответствии с выражением (7.36) при заданном T найдем связь меж-
ду операторами:
2
1
1
20
1
1
z
z
p
T z
z
;
подставим найденное значение оператора p в заданную передаточную
функцию:
5
5
5
0,2381
0,2381
( )
1
21
19
0,9048
20 *
1
1
z
z
W z
z
z
z
z
.
Замечание. Преобразование Тастина можно использовать только для
анализа процессов в линейных импульсных системах и при достаточно
малом шаге квантования по времени Т, корни знаменателя при этом вос-
производятся достаточно точно, но порядок числителя при таком пере-
ходе всегда получается равным n независимо от свойств непрерывного
объекта.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
248
7.4. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ
7.4.1. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА
Практика проектирования импульсных систем предполагает две ос-
новные задачи расчета процессов.
Задача 1 – анализ свободных движений в системе (анализируется
однородное разностное уравнение):
(
1)
( )
x k
Ax k
(7.37)
при заданных начальных условиях
0
(0)
x
x .
Свободные движения вычисляются следующим образом:
0
0
(1)
,
...
( )
(
1)
.
k
x
Ax
x k
Ax k
A x
В результате для любого заданного момента времени k при задан-
ных начальных условиях можно найти значение вектора состояния
0
( )
k
x k
A x .
(7.38)
Задача 2 – анализ полных движений в системе:
(
1)
( )
( ),
x k
Ax k
Bu k
(7.39)
при известных начальных условиях и заданной последовательности
управляющих воздействий:
0
(0)
,
(0), (1), ..., (
1)
x
x
u
u
u k
.
7.4. Анализ процессов в линейных импульсных системах
249
Полные процессы рассчитываются аналогично свободным, на осно-
ве исходного разностного уравнения (7.39):
0
2 0
(1)
(0),
(2)
(1)
(1)
(0)
(1),
...
x
Ax
Bu
x
Ax
Bu
A x
ABu
Bu
0
1
2
( )
(0)
(1) ...
(
2)
(
1)
k
k
k
x k
A x
A
Bu
A
Bu
ABu k
Bu k
.
Как видим, полные процессы складываются из двух компонент:
первая – свободные движения, определяемые начальными условиями;
вторая – вынужденные движения, определяемые последовательностью
управляющих воздействий.
ПРИМЕР 7.9
Дискретная система задана линейным разностным уравнением
(
3) 1, 25 (
2) 0, 75 (
1) 0,125( )
0, 75 (
1) 0, 5 ( ).
y k
y k
y k
k
u k
u k
Найти реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие при нуле-
вых начальных условиях для
0,...,5
k
.
Сдвинем аргумент в исходном разностном уравнении
( )
1, 25 (
1) 0, 75 (
2) 0,125 (
3)
0, 75 (
2) 0, 5 (
3).
y k
y k
y k
y k
u k
u k
Заданы нулевые начальные условия, это означает, что
( 3)
0, ( 2)
0, ( 1)
0.
y
y
y
Управляющее воздействие подается на вход объекта в момент времени
0
k
, до этого момента оно равно нулю. Найдем значения
( ),
0,5
y i
i
.
0 :
(0)
1, 25 ( 1) 0, 75 ( 2) 0,125 ( 3) 0, 75 ( 2) 0,5 ( 3)
0.
k
y
y
y
y
u
u
1:
(1)
1, 25 (0) 0, 75 ( 1) 0,125 ( 2) 0, 75 ( 1) 0,5 ( 2)
0.
k
y
y
y
y
u
u
2 :
(2)
1, 25 (1) 0, 75 (0) 0,125 ( 1) 0, 75 (0) 0,5 ( 1)
0, 75.
k
y
y
y
y
u
u
3 :
(3)
1, 25 (2) 0, 75 (1) 0,125 (0) 0, 75 (1) 0,5 (0)
2,188.
k
y
y
y
y
u
u
4 :
(4)
1, 25 (3) 0, 75 (2) 0,125 (1) 0, 75 (2) 0,5 (1)
3, 422.
k
y
y
y
y
u
u
5 :
(5)
1, 25 (4) 0, 75 (3) 0,125 (2) 0, 75 (3) 0,5 (2)
3, 793.
k
y
y
y
y
u
u
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
250
На рис. 7.28 показан вид полученного процесса.
0,75
2,188
3,422
3,793
y
k
0
0
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Рис. 7.28. Вид процесса, полученного в примере 7.9
7.4.2. ПРОЦЕССЫ МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
В импульсных системах имеет смысл говорить о процессах пре-
дельного быстродействия и для этого нетрудно получить соответст-
вующие формальные условия.
Рассмотрим процессы в линейной импульсной системе, которые
описываются разностным уравнением
(
1)
( )
( )
x k
Ax k
Bu k
.
Характеристическое уравнение системы имеет вид
1
1
1
0
det(
)
0
...
0.
n
n
n
zI
A
z
a
z
a z
a
Оказывается, в линейных импульсных системах процессы могут за-
канчиваться не более чем за n шагов, где n – порядок системы. Такие
процессы называют процессами минимальной длительности.
Утверждение: для того чтобы процессы в системе заканчивались
не более чем за n шагов, все собственные числа матрицы A должны
быть равны нулю:
0,
1,
i
z
i
n .
Доказательство данного утверждения основано на следующей тео-
реме.