Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

251 

Теорема Келли–Гамильтона. Матрица А удовлетворяет собствен-

ному характеристическому уравнению 

1

1

1

0

...

[0]

n

n

n

A

a

A

a A a I

. 

Если все собственные числа равны нулю, то характеристическое урав-
нение системы принимает вид 

0.

n

z

На основании теоремы Келли–Гамильтона можно записать: 

0,

n

A

из чего следует в соответствии с выражением (7.38) 

0

( )

[0]

n

x n

A x

. 

Очевидно, что все последующие значения вектора состояния также 

будут равны нулю. 

7.5. СИНТЕЗ  

ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ 

7.5.1. ЗАДАЧА СИНТЕЗА 

 
Объект управления, для которого будем рассматривать синтез циф-

рового регулятора, описывается системой разностных уравнений 

(

1)

( )

( ),

( )

( )

( ),

x k

Ax k

Bu k

y k

Cx k

M k

где M(k) – возмущение, приложенное к выходу объекта, что при синте-
зе является наиболее неблагоприятным случаем. 

После окончания переходного процесса выход объекта должен по-

вторять входное задающее воздействие 

lim ( )

k

y k

v

. 

(7.40) 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

252 

В  некоторых  системах  допускается  воспроизводить  входное  за-

дающее воздействие с ошибкой, но величина ошибки должна быть не 
больше заданной 

0

: 

0

( )

( )

lim

( )

k

k

v

y k

k

. 

(7.41) 

Кроме требований статики (7.40), (7.41), предъявляются требования 

и  к  динамике  системы.  Время  переходного  процесса  должно  быть  не 

более заданного: 

пп

з

t

t . 

Вид  (качество)  переходного  процесса  должен  соответствовать  

предписанному, при этом часто задается величина перерегулирования  

(рис. 7.29): 

max

уст

з

уст

.

y

y

y

Рис. 7.29. Примерный вид переходного процесса  

в синтезируемой системе 

По заданным требованиям к системе необходимо определить струк-

туру и параметры регулятора. 

До  начала  процедуры  синтеза  следует  проверить  управляемость  и 

наблюдаемость объекта. Эти понятия мы уже ввели для непрерывных 

систем  (см.  главу  5)  и  здесь  будем  использовать  те  же  обозначения. 

Убедимся,  однако,  что  доказывать  критерии  для  импульсных  систем 

много проще. 

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

253 

7.5.2. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ  

ИМПУЛЬСНЫХ ОБЪЕКТОВ 

Рассмотрим условие управляемости для объекта вида 

(

1)

( )

( ),

( )

( ).

x k

Ax k

Bu k

y k

Cx k

(7.42) 

n

x

1

x

(0)

x

( )

x n

Рис. 7.30. Движение изображающей точки  

в пространстве состояний 

Определение:  объект  (7.42)  управляем,  если  существует  ограничен-

ное  управляющее  воздействие,  которое  на  конечном  интервале  времени 

переводит объект из заданного начального состояния x(0) в заданное ко-

нечное состояние x(n) (рис. 7.30), т.е. существует последовательность 
 

(0), (1),..., (

1)

u

u

u n

. 

Рассмотрим вначале задачу анализа управляемости одноканального 

объекта: 

1

,

n n

n

A

R

B

R

. 

Сформируем матрицу, которую называют матрицей управляемости 

1

,

,...,

n

U

B AB

A

B . 

(7.43) 

Для  одноканального  объекта  матрица  управляемости  является  квад-

ратной: 

n n

U

R

. 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

254 

Критерий  управляемости  одноканального  объекта.  Однока-

нальный объект (7.42) называется управляемым, если матрица U невы-

рожденная: 
 

det{ }

0.

U

Доказательство. В соответствии с разностным уравнением объекта 

(7.42) можно записать: 

1

(1)

(0)

(0),

...

( )

(0)

(0) ...

(

1).

n

n

x

Ax

Bu

x n

A x

A

Bu

Bu n

Возьмем последнее уравнение из этой цепочки и преобразуем его: 

1

(

1)

...

( )

(0)

,

,...,

(1)

(0)

n

n

u n

x n

A x

B AB

A

B

u

u

. 

Как видим, последовательность управляющих воздействий, перево-

дящих  одноканальный  объект  из  заданного  начального  состояния  в 

заданное конечное, можно найти следующим образом: 

1

(

1)

...

( )

(0)

(1)

(0)

n

u n

U

x n

A x

u

u

, 

откуда и следует требование невырожденности матрицы U. 

Рассмотрим  теперь  критерий  управляемости  для  многоканального 

объекта. Размерность матриц объекта и управления: 

,

,

n n

n m

m

A

R

B

R

u

R . 

Вид матрицы управляемости для многоканального объекта тот же, что 

и для одноканального (7.43), но ее размерность иная: 

(

)

n n m

U

R

. 

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

255 

Критерий  управляемости  многоканального  объекта.  Многока-

нальный  объект  (7.42)  называется  управляемым,  если  матрица  управ-

ляемости имеет полный ранг: 

rank{ }

.

U

n

Из линейной алгебры известно, что матрица U имеет полный ранг, 

если  из  нее  можно  выбрать  n  линейно  независимых  столбцов.  Это,  в 

свою очередь, означает, что многоканальный объект из заданного на-

чального  состояния  в  заданное  конечное  состояние  можно  перевести 

не более чем за n шагов. 

Определить,  имеет  ли  матрица  полный  ранг,  можно  по  соотно-

шению 

det{

}

0.

T

UU

Управляемость  объекта  является  условием  разрешимости  задачи 

синтеза. 

ПРИМЕР  7.10 

Проверить свойство управляемости объекта, заданного системой разно-

стных уравнений: 

1

1

2

2

1

2

(

1)

0,3 ( ) 0, 2

( ) 0, 4 ( ),

(

1)

0

( ) 0,1

( ) 0,5 ( ).

x k

x k

x k

u k

x k

x k

x k

u k

Вычислить  управление,  которое  переводит  объект  из  начального  со-

стояния 

1

(0)

0

x

, 

2

(0)

1

x

 в конечное состояние 

1

( )

1

x T

, 

2

( )

1

x T

, и 

построить траекторию движения изображающей точки на фазовой плоско-

сти. 

По заданным уравнениям объекта запишем его матрицы A, B: 

0,3

0, 2

0

0,1

A

; 

0, 4

0, 5

B

; 

0,3

0, 2

0, 4

0, 02

0

0,1

0,5

0, 05

AB

. 

Используя матрицы объекта, найдем матрицу управляемости U и вычислим 

ее детерминант: 

0, 4

0, 02

0,5

0, 05

U

B

AB

;   

det

0,01

U

. 

Поскольку  det

0

U

, объект управляем. 

Найдем  последовательность  управляющих  воздействий,  переводящих 

объект из заданного начального состояния в заданное конечное: