Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Г л а в а  2 

ДИНАМИЧЕСКИЕ  ХАРАКТЕРИСТИКИ  

ЛИНЕЙНЫХ  СИСТЕМ 

режде  чем  изучать  поведение  реальных  систем  и  их  моде- 
 лей,  необходимо  определить  формальный  язык,  на  котором 

будут  обсуждаться  их  свойства.  Основным  элементом  такого  фор-

мального  языка  является  динамическая  характеристика,  под  которой 

интуитивно  понимают  какое-либо  соотношение,  характеризующее 

свойства систем в статике и динамике (при изменении состояния). 

Дадим  следующее  определение.  Динамической  характеристикой 

(математической моделью) системы будем называть любое соотноше-

ние, заданное аналитически, графически или в виде таблицы, которое 

позволяет оценить ее поведение во времени. 

В этой главе мы будем рассматривать различные способы описания 

линейных  динамических  систем,  их  взаимосвязь  и  приведение  к  при-

нятой  в  теории  автоматического  управления  форме  записи  математи-

ческой модели. 

Отметим,  что  динамическая  характеристика  дает  возможность  ис-

следовать  поведение  системы,  в  частности,  рассчитать  для  нее  пере-

ходные процессы. 

2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ 

Наиболее  часто  в  качестве  математической  модели  объекта  управ-

ления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, ко-

торые могут быть записаны в различной форме. 

Линейные  многоканальные  объекты  обычно  описывают  системой 

дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в век-

торно-матричном виде: 

П 

Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

22 

x

Ax

Bu



. 

(2.1) 

Здесь 

n

x

R  – вектор состояния, n – порядок объекта; 

m

u

R  – вектор 

управляющих  воздействий,  m n ;  A  –  квадратная  матрица  действи-
тельных коэффициентов;  B – прямоугольная матрица действительных 

коэффициентов.  Уравнения  (2.1)  называют  дифференциальными 

уравнениями состояния. 

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с урав-

нением выхода 

,

y

Cx

(2.2) 

где 

m

y

R  – вектор выхода; C – прямоугольная матрица действитель-

ных  коэффициентов.  Уравнения  (2.1)  и  (2.2)  описывают  линейный 

многоканальный объект.  

Для  описания  одноканального  объекта  обычно  используется  ска-

лярное дифференциальное уравнение 

( )

(

1)

2

1

,

n

n

n

y

a y

a y

a y

bu





(2.3) 

которое  также  может  быть  приведено  к  виду  (2.1)  и  (2.2)  после  соот-

ветствующего  выбора  линейно-независимых  переменных  состояния. 
Их число всегда равно порядку объекта (n), а 

1

u

R  и 

1

y

R . 

Наиболее простое каноническое описание получается, когда в каче-

стве  переменных  состояния  выбираются  выходная  переменная  y  и  ее 
производные до  (

1)

n

 включительно: 

(

1)

1

2

,

,

,

.

n

n

x

y

x

y

x

y

 

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений  

1

2

2

3

1 1

2 2

1

,

,

,

,

n

n n

x

x

x

x

x

a x

a x

a x

bu

y

x










 (2.4) 

2.1. Дифференциальные уравнения

23 

которая  соответствует  векторно-матричным  уравнениям  (2.1)  и  (2.2). 

Здесь матрицы A, B и C имеют вид 

1

2

0

1

0

0

0

0

0

0

,

,

1 0

0 ,

n

A

B

C

a

a

a

b


















причем  их  размерности  следующие:  dim A n n ,  dim

1

B

n

, 

dim

1

.

C

n

Следует  отметить,  что  переход  к  описанию  (2.1),  (2.2)  не  является 

однозначным: для одного объекта можно выбрать бесконечное множе-

ство наборов переменных состояния; важно, чтобы они были линейно-

независимыми. При этом каждой совокупности переменных состояния 

будут соответствовать свои матрицы объекта A, B и C. 

ПРИМЕР  2.1 

Записать  уравнения  состояния  одноканального  объекта,  модель  

которого имеет вид 

3

y

y

y

u





. 

Рассмотрим два варианта переменных состояния. 
1.  Если в качестве переменных состояния использовать выходную ве-

личину  и  ее  производную 

1

2

,

x

y

x

y

,  то  получим  канонические 

уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.4): 

1

2

2

1

2

1

,

0

1

0

3

,

,

,

1 0 .

1

3

1

,

x

x

x

x

x

u

A

B

C

y

x




2.  Выбирая  новые  переменные 

1

2

,

3

,

x

y

x

y

y



  получим 

уравнения состояния и матрицы объекта: 

1

1

2

2

1

1

3

,

,

,

x

x

x

x

x

u

y

x




3 1

0

,

,

1 0 .

1 0

1

A

B

C

Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

24 

В общем случае одноканальный объект может описываться диффе-

ренциальным уравнением вида 

( )

(

1)

( )

1

0

,

n

n

m

n

m

y

a y

a y

b u

b u

n

m





.   (2.5)

Выбрав  соответствующие  переменные  состояния,  от  описания  (2.5) 

также  можно  перейти  к  векторно-матричным  уравнениям  типа  (2.1), 

(2.2). Рассмотрим этот переход на примере. 

ПРИМЕР  2.2 

Записать уравнения состояния объекта с математической моделью  

3

2

.

y

y

y

u

u

 



Перепишем это уравнение:  

2

3

y

u

y

y

u







, 

выберем в качестве переменных состояния 

1

2

,

2

x

y

x

y

u



 и получим 

следующие уравнения состояния и матрицы объекта: 

1

2

2

1

2

1

2 ,

0

1

2

3

,

,

,

1 0 .

3

1

1

,

x

x

u

x

x

x

u

A

B

C

y

x




Таким образом, в качестве основной динамической характеристики 

линейных  объектов  управления  используются  дифференциальные 
уравнения, которые могут быть представлены в форме  (2.1),  (2.2). 

2.2. СОСТАВЛЕНИЕ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  

МОДЕЛИ 

Поскольку  в  теории  автоматического  управления  рассматриваются 

не реальные системы управления, а их математические модели, необ-

ходимо  стремиться  к  тому,  чтобы  эти  модели  достаточно  адекватно 

отражали свойства физических устройств. Процедуру получения мате-

матической модели объекта можно разбить на следующие этапы. 

•  Составление  гносеологической  (мысленной)  модели  объекта. 

Исходя  из  технического задания  и  изучения  режимов  работы  объекта 

инженер  представляет  себе  приближенную  модель,  которая  в  даль-

нейшем уточняется и приобретает вид математической модели. 

2.2. Составление математической модели 

25 

•  Определение  независимых  переменных,  которые  характеризуют 

объект,  и  уточнение  их  размерностей.  При  этом  число  управляющих 
воздействий  не  может  быть  меньше  числа  выходных  переменных 

(dim

dim )

u

y .  Размерность  вектора  переменных  состояния  не может 

быть 

меньше 

размерности 

вектора 

выходных 

переменных 

(dim

dim )

x

y

. Размерность возмущающих воздействий M может быть 

произвольной и никак не связана с размерностью y, x, u. 

•  Запись физических законов, в силу которых развиваются процес-

сы в объекте. 

•  Приведение  уравнений  объекта  к  удобному  с  точки  зрения  тео-

рии автоматического управления виду. 

Математическая  модель  никогда  не  бывает  тождественна  рассмат-

риваемому  объекту,  так как  при  ее  составлении  всегда  делают  какие-
либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в 
зависимости от целей управления модели могут быть различными. 

При  составлении  математической  модели  приходится  искать  ком-

промиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с 
одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства ре-
альной  системы,  с

другой  –  быть  достаточно  простой,  чтобы  не  за-

труднять исследований. 

ПРИМЕР  2.3 

Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1), за-

писать для нее уравнения состояния. 

Физическими  законами,  в  соответствии  с  которыми  развиваются  про-

цессы в объекте, являются законы Кирхгофа 

1

2

,

.

dI

U

L

RI

U

RI

dt

вых

2

и

н

0

U

U

R

R

Рис. 2.1. Электрическая схема объекта 

L

I

R U

2

R

н

R

и

U

1