Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 18613
Скачиваний: 127
Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
26
Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описанию
объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на вы-
ходе цепи, т. е.
2
y
U , управляющим воздействием – напряжение на ее
входе
1
u
U
, а переменной состояния – ток, протекающий по цепи
x
I
. С учетом введенных обозначений запишем исходные уравнения
объекта в следующем виде:
,
,
Lx
Rx
u
y
Rx
а затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния
,
,
x
Ax
Bu
y
Cx
где
,
1
,
.
A
R L
B
L
C
R
ПРИМЕР 2.4
Рассмотрим в качестве еще одного
примера составление математической
модели двигателя постоянного тока с
независимым возбуждением (рис. 2.2),
который часто используется в системах
автоматического управления. Здесь
я
U –
напряжение, подаваемое на якорь двига-
теля, которое будем считать входным
воздействием; I – ток в цепи якоря,
представляющий собой внутреннюю пе-
ременную объекта; ,
R L – сопротивление и индуктивность цепи якоря;
E
– противоЭДС, т. е. напряжение, возникающее в обмотке якоря в ре-
зультате его вращения в магнитном поле; – скорость вращения двигате-
ля, которую будем считать выходной переменной; ОВД – обмотка возбуж-
дения двигателя.
Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе.
Уравнение электрического равновесия якорной цепи имеет вид
я
.
dI
L
RI
E
U
dt
R,L
I
U
я
ОВД
E
Рис. 2.2. Схема двигателя
постоянного тока
Рис. 2.2. Схема двигателя посто-
янного тока
2.2. Составление математической модели
27
Уравнение равновесия моментов на валу двигателя
д
c
,
d
J
M
M
dt
где
J
– приведенный момент инерции;
д
M
– вращающий момент;
с
M –
момент сопротивления на валу двигателя, который является возмущаю-
щим воздействием.
С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать,
что
1
,
E
c
д
2
,
M
c I
c
c
( ),
M
M
t где
const,
1, 2.
i
c
i
В результате
уравнения двигателя принимают вид
1
я
2
c
,
.
dI
L
RI
c
U
dt
d
J
c I
M
dt
Введем следующие обозначения:
я
u
U
– управление;
1
x
и
2
x
I – переменные состояния;
с
M – возмущение. Запишем уравнения
двигателя в переменных состояния:
1
12 2
c
2
21 1
22 2
1
,
,
,
x
a x
hM
x
a x
a
x
bu
y
x
где
2
12
,
c
a
J
1
,
h
J
1
21
,
c
a
L
22
,
R
a
L
1
.
b
L
Часто модель двигателя представляют в виде одного дифференциаль-
ного уравнения
я м
м
м
я
c
(
1)
.
T T y T y
y
ku
k
T p
M
Здесь
м
1 2
T
JR c c – электромеханическая постоянная времени двигате-
ля;
я
T
L R – электромагнитная постоянная времени якорной цепи;
1
1
k
c – коэффициент усиления;
м
1 2
k
R c c .
ПРИМЕР 2.5
Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого монтируется на те-
лежке (каретке), перемещающейся в горизонтальном направлении [21].
Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
28
В совокупности такое устройство представляет собой объект управления,
называемый «каретка–маятник». Его схематичная модель показана на
рис. 2.3, где использованы следующие определения:
– угол отклонения маятника (выходная переменная);
U
– прикла-
дываемая управляющим двигателем сила (входная переменная);
s
– перемещение каретки;
1
m – масса каретки;
L – расстояние между осью и центром тяжести маятника;
2
m – масса маятника;
J – момент инерции относительно центра тяжести;
g – ускорение силы тяжести;
H и
V
– горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маят-
ника.
Y
H
L
U
0
1
m
s
m
1
Центр тяжести
Ось
φ
m
2
g
Рис. 2.3. Объект управления «каретка–маятник»
Упрощенная модель объекта «каретка–маятник» может быть представ-
лена системой дифференциальных уравнений [9]
4
2
2
0,
,
a c
cs
s
a s b U
где
2
1
1
2
2
4
2
2
1
1
,
,
,
J
m L
F
a
b
a
g
c
m
m
m L
– эффективная длина ма-
ятника.
При переходе к описанию модели объекта в переменных состояния в
качестве компонент вектора состояния можно выбрать следующие вели-
чины:
2.3. Переходная характеристика
29
1
1
2
3
1
4
,
,
,
( )
( )
( ),
x
s
x
s
x
s
c
x t
s t
c
t
а выходной переменной объекта является угол отклонения маятника
.
y
В результате уравнения состояния принимают вид
1
2
2
2 2
2
3
4
4
4
3
1
3
1
,
,
,
(
),
(
).
x
x
x
a x
b U
x
x
x
a c x
x
y
c x
x
Определив матрицы
2
2
4
4
0
1
0
0
0
0
0
0
,
,
0
0
0
1
0
0
0
0
a
b
A
B
a c
a c
0
0 ,
C
c
c
модель объекта «каретка–маятник» можно представить в векторно-
матричной форме (2.1)–(2.2).
2.3. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Эта динамическая характеристика используется для описания одно-
канальных объектов
( )
(
1)
(
2)
( )
1
1
0
n
n
n
m
n
n
m
y
a y
a
y
a y
b u
b u
с нулевыми начальными условиями
(
1)
(0)
0,
(0)
0,
,
(0)
0.
n
y
y
y
Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
30
Переходной характеристикой (переходной функцией) h(t) назы-
вается реакция системы на единичное ступенчатое входное воздейст-
вие (
) 1(
)
u t
t
при нулевых начальных условиях (см. рис. 2.4).
Отметим, что единичная ступенчатая функция – это функция, кото-
рая обладает свойством
0,
0,
1(
)
1,
0.
t
t
t
Здесь – момент возникновения входного воздействия.
(
)
h t
1(
)
t
y
u
t
t
(
)
h t
1(
)
t
u
y
t
t
1(
)
t
(
)
h t
Рис. 2.4. Пример переходной характеристики
системы
Для аналитического определения переходной функции следует ре-
шить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях
и единичном входном воздействии.
При исследовании реального объекта переходную характеристику
можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход сту-
пенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное
воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию
( )
1( )
u t
k t , то выходная величина будет равна ( )
( )
y t
kh t , т. е. пере-
ходной характеристике с коэффициентом пропорциональности k.
Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию сис-
темы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла
свертки
t
0
( )
( ) (0)
(
) ( )
,
y t
h t u
h t
u
d
(2.6)
где – переменная интегрирования.