Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

2.4. Импульсная переходная функция 

31 

2.4. ИМПУЛЬСНАЯ  ПЕРЕХОДНАЯ  ФУНКЦИЯ 

Эта  характеристика  также  используется  для  описания  одноканаль-

ных объектов вида (2.5).  

Импульсная  переходная  функция  (характеристика)  g(t)  пред-

ставляет  собой  реакцию  на  входное  воздействие  типа  единичной  им-

пульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 2.5). Такое 

входное воздействие математически отражает дельта-функция, которая 

обладает следующими свойствами: 

0,

,

1)

(

)

2)

(

)

1.

,

;

t

t

t

d

t

(2.7) 

(

)

g t

y

u

t

t

(

)

g t

u 

y 

t

t

(

)

g t

Рис. 2.5. Пример импульсной переходной  

функции системы

С помощью дельта-функции можно описать реальное входное воз-

действие  типа  удара.  В  действительности  импульсные  входные  воз-

действия  на  объект  всегда  конечны  по  уровню  и продолжительности. 

Однако если их длительность намного меньше длительности переход-

ных процессов, то с определенной точностью реальный импульс может 

быть заменен дельта-функцией с некоторым коэффициентом. 

Импульсная  переходная  функция  позволяет  вычислить  реакцию 

системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных 

условиях по выражению 

0

( )

(

) ( )

.

t

y t

g t

u

d

(2.8) 

Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

32 

Переходная  характеристика  и  импульсная  переходная  функция  од-

нозначно связаны между собой соотношениями 

0

( )

( ),

( )

( )

t

g t

h t

h t

g

d



. 

(2.9) 

Уравнения  (2.9)  позволяют  при  одной  известной  характеристике 

определить вторую. 

Отметим здесь, что переходная и импульсная переходная функции 

могут  использоваться  для  описания  процессов  и  в  бесконечномерных 

объектах и поэтому они «богаче» конечномерных моделей, какими яв-

ляются обыкновенные дифференциальные уравнения.  

2.5. ПЕРЕХОДНАЯ  МАТРИЦА 

Данная  динамическая  характеристика  применяется  для  описания 

многоканальных систем вида (2.1) и (2.2).  

,

,

,

,

n

m

x

Ax

x

R

y

Cx

y

R



n

m . 

(2.10) 

Переходная  матрица  представляет  собой  решение  матричного 

дифференциального уравнения 

,

dim ( )

A

t

n n



  (2.11) 

при единичных начальных условиях 

(0)

,

I

где 

1

0

0

0

1

0

0

0

1

I




   



. 

Она обладает следующими свойствами: 

1

1) det

( )

0

для любого

0, ),

2)

( )

( ).

t

t

t

t

(2.12) 

2.5. Переходная матрица 

33 

Зная переходную матрицу, можно вычислить реакцию системы 

x

Ax

Bu



на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях 

(0)

x

 по выражению  

0

( )

( ) (0)

( )

( )

.

t

x t

t x

Bu

d

(2.13) 

Здесь  первое  слагаемое  описывает  свободную  составляющую  движе-
ния, второе – вынужденную. Соотношение для выходных переменных 
следующее: 

0

( )

( ) (0)

( )

( )

.

t

y t

C

t x

C

Bu

d

(2.14) 

Если система имеет нулевые начальные условия  (0) 0

x

, то выра-

жение (2.14) принимает вид 

0

( )

( ) ( )

.

t

y t

G

u

d

(2.15) 

Матрица 

( , )

G t

  называется  матричной  импульсной  переходной 

функцией.  Каждая  ее  компонента  представляет  собой  импульсную 
переходную  функцию 

( )

ij

g

,  которая  является  реакцией  i-го  выхода 

системы на j-е импульсное входное воздействие при нулевых началь-
ных условиях и отсутствии остальных входных воздействий 

( )

( ) .

G

C

B

(2.16) 

Для  многоканальных  систем  может  быть  определена  также  мат-

ричная переходная характеристика  

0

( )

( )

.

t

H

G

d

(2.17) 

Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

34 

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная мат-

рица  ( )

t  представляет собой матричную экспоненту 

2 2

1

( )

,

2!

At

t

e

I

At

A t

  

(2.18) 

где  dim

At

e

n n . 

С учетом (2.18) выражения (2.13) и (2.14) можно записать следую-

щим образом: 

(

)

0

( )

(0)

( )

,

t

At

A t

x t

e x

e

Bu

d

(2.19) 

(

)

0

( )

(0)

( )

.

t

At

A t

y t

Ce x

Ce

Bu

d

(2.20) 

В  этом  случае  матричная  импульсная  переходная  функция  линей-

ной системы с постоянными коэффициентами может быть найдена по 

соотношению 

( , )

.

At

G t

Ce B  

(2.21) 

При небольших размерах или простой структуре матрицы объекта A 

выражение (2.18)  можно использовать для  точного  представления  пе-

реходной матрицы с помощью элементарных функций. 

2.6. ПЕРЕДАТОЧНАЯ  ФУНКЦИЯ 

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в тео-

рии автоматического управления используются различные их преобра-

зования.  Для  линейных  систем  дифференциальные  уравнения  удобно 

представлять  в  символической  форме  с  применением  оператора  диф-

ференцирования 

d

p

dt

, 

2.6. Передаточная функция 

35 

что позволяет записывать дифференциальные уравнения как алгебраи-

ческие  и  вводить  новую  динамическую  характеристику  –  передаточ-

ную функцию. Этот способ был предложен английским ученым Хеви-

сайдом  в  1895  г.,  позднее  он  был  строго  обоснован  аппаратом  инте-

гральных  преобразований  Лапласа  и  Карсона  [11]  в  предположении 

нулевых начальных условий. 

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем общего вида 

,

,

x

Ax

Bu

y

Cx



,

,

,

.

n

m

m

x

R

u

R

y

R

n

m

Запишем уравнение состояния в операторной форме 

,

px

Ax

Bu

что позволяет определить вектор состояния 

1

(

)

x

pI

A

Bu  

 (2.22) 

и выходные переменные системы 

1

(

)

.

y

C pI

A

Bu  

 (2.23) 

Матрица  взаимосвязи  между  выходными  переменными  и  управ-

ляющими  воздействиями  в  выражении  (2.23)  называется  матричной 

передаточной функцией и обозначается 

1

( )

(

)

.

W p

C pI

A

B  

(2.24) 

Она имеет размерность 

m m

:  

11

1

1

( )

( )

( )

,

( )

( )

m

m

mm

W

p

W

p

W p

W

p

W

p











(2.25) 

где 

( )

ij

i

j

W

p

y u

–  скалярные  передаточные  функции,  которые 

представляют собой отношение выходной величины к входной в сим-
волической форме при нулевых начальных условиях 

1, ,

1,

i

m j

m

.