Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

256 

1

5

2

50

40

U

; 

1

2

(1)

( (2)

(0))

(0)

u

U

x

A x

u

; 

2

0, 09

0, 08

0

0, 01

A

; 

(1)

5

2

1

0, 09

0, 08

0

2,58

(0)

50

40

1

0

0, 01

1

5, 6

u

u

. 

Теперь найдем траекторию движения объекта 

1

2

(1)

0,3 0 0, 2( 1) 0, 4 5, 6

2, 04,

(1)

0,1( 1) 0,5 5, 6

2,9;

x
x

1

2

(2)

0, 3 2, 04 0, 2 2, 9 0, 4 2, 58

1,

(2)

0,1 2, 9 0, 5 2, 58

1.

x
x

Как видим, на втором шаге объект приходит в заданное конечное состояние. 

7.5.3. НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ  

ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ 

 
Будем  анализировать  наблюдаемость  линейного  дискретного  объ-

екта,  математическая  модель  которого  представлена  системой  разно-
стных уравнений (7.42) 

Пусть  известны  последовательность  измеренных  значений  выхода 

y(k) и последовательность управляющих воздействий u(k): 

(0),

(1),..., (

1)

(0),

(1),..., (

1)

y

y

y n

u

u

u n

, 

по этим данным необходимо найти вектор состояния x(k). 

Определение.  Объект  наблюдаем,  если  по  процессу  y(k)  при  из-

вестной  последовательности  управляющих  воздействий  u(k)  можно 
вычислить процесс x(k). 

Рассмотрим процедуру анализа управляемости для одноканального 

объекта, размерность матриц которого 

1

,

n n

n

A

R

С R

. 

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

257 

Матрица наблюдаемости для одноканального объекта квадратная и 

имеет вид 

1

...

n n

n

C

CA

N

R

CA

. 

(7.44) 

Критерий  наблюдаемости  одноканального  объекта.  Однока-

нальный  объект  (7.42)  называется  наблюдаемым,  если  матрица  N  не-

вырожденная: 
 

det N   0. 

Доказательство. Воспользуемся уравнением выхода объекта (7.42) 

и сформируем систему уравнений: 

1

2

(0)

(0),

(1)

(1)

(

(0)

(0),

...

(

1)

(0)

(0) ...

(

2).

n

n

y

Cx

y

Cx

C Ax

Bu

y n

CA

x

CA

Bu

CBu n

(7.45) 

Здесь  неизвестным  является  x(0),  значения  управления  u(k)  известны, 

значения выходной величины y(k) измеряемы. Запишем систему урав-

нений (7.45) в матричной форме: 

1

2

0

(0)

(0)

(1)

(0)

...

...

...

(

1)

(0) ...

(

2)

n

n

C

y

CA

CBu

y

x

y n

CA

CA

Bu

CBu n

. 

Из последней системы уравнений выразим x(0): 

1

1

2

0

(0)

(0)

(1)

(0)

...

...

(

1)

(0) ...

(

2)

n

y

CBu

y

x

N

N

y n

CA

Bu

CBu n

. 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

258 

Как видим, решение для x(0) существует в том случае, если матрица 

N  невырожденная.  Для  оценки  вектора  состояния  x(0)  придется  наби-
рать информацию о выходе объекта на (n–1)-м шаге от y(0) до y(n–1) и 
сохранить значения управления от u(0) до u(n–2). Таким образом, дан-
ная процедура дает возможность оценивать вектор состояния объекта с 
запаздыванием T

з

, величина которого составляет 

з

(

1)

T

T n

, 

где T – шаг квантования; n – порядок объекта. 

Рассмотрим  критерий  наблюдаемости  для  многоканального  объек-

та. Размерность матриц объекта: 

,

n n

m n

A

R

C

R

. 

Вид  матрицы  наблюдаемости  такой  же,  как  для  одноканального 

объекта (7.44), но ее мерность иная: 

(

)

n m n

N

R

. 

Критерий  наблюдаемости  многоканального  объекта.  Многока-

нальный объект наблюдаем, если матрица N имеет полный ранг: 

rank N = n. 

Чтобы набрать  n линейно независимых уравнений для оценки век-

тора  состояния  x(0),  нужно  перебирать  строки  в  матрице  N,  выбирая 
линейно  независимые.  Если  это  удастся,  то  ранг  матрицы  полный  и 
объект наблюдаем. 

Определить, имеет ли матрица полный ранг, можно также по соот-

ношению 

det{

} 0.

T

N N

Оценивать наблюдаемость и управляемость объекта необходимо до 

начала  процедуры  синтеза  для  того,  чтобы  убедиться  в  адекватности 
модели рассматриваемому объекту. 

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

259 

ПРИМЕР  7.11 

Проверить  свойство  наблюдаемости  объекта,  математическая  модель 

которого задана передаточной функцией 

2

0, 2

0,1

( )

0, 25

z

W z

z

z

. 

По передаточной функции объекта запишем его разностное уравнение в 

матричной форме: 

1

2

2

1

2

2

(

1)

0, 25

( ) 0,1 ( ),

(

1)

( )

( ) 0, 2 ( ),

( )

( ).

x k

x k

u k

x k

x k

x k

u k

y k

x k

Матрицы A, C объекта имеют следующий вид: 

0

0, 25

1

1

A

; 

0 1

C

. 

Найдем матрицу наблюдаемости и ее детерминант: 

C

N

CA

; 

0

1

1

1

N

;  det

1

0

N

. 

Поскольку детерминант матрицы  наблюдаемости отличен от  нуля, объект 
наблюдаем. 

7.5.4. МОДАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА.  

ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА ПО ВЫХОДУ 

 
Рассмотрим  процедуру  синтеза  для  объекта,  представленного  на 

рис.  7.31.  Математическая  модель  объекта  управления  задана  в  виде 
передаточной функции 

( )

( )

( )

B z

W z

A z

, 

(7.46) 

M  –  возмущение,  приложенное  к  выходу  объекта  (самый  неблагопри-
ятный случай). 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

260 

( )

u z

( )

y z

( )

W z

( )

M z

Рис. 7.31. Структурная схема объекта  

управления 

К синтезируемой системе предъявляются следующие требования: 
•  в статике выход объекта управления должен повторять входное 

задающее воздействие 
 

lim ( )

;

k

y k

v  

•  корни  в  синтезируемой  системе  должны  быть  заданными,  в  то 

время как корни объекта могут быть произвольными. 

Размерность полиномов передаточной функции объекта управления 

стандартная: 
 

dim A(z) = n, dim B(z) = n – 1, 

если в объекте нет элементов чистого запаздывания. 

Расчетная структура синтезируемой системы приведена на рис. 7.32, 

где 

( )

d

K

z  – корректор динамики, обеспечивает желаемое распределе-

ние  корней; 

( )

s

K z   –  корректор  статики,  обеспечивает  требования, 

предъявляемые к статике системы. 

( )

u z

( )

y z

( )

W z

( )

M z

v

( )

s

K

z

( )

d

K

z

Рис. 7.32. Структурная схема синтезируемой системы