Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

261 

Полагаем,  что  необходимо  обеспечить  ошибку  в  системе  равной 

нулю: 

(

( ))

0

lim

k

v

y k

, 

и для этого будем использовать астатическую процедуру синтеза. Кор-
ректор статики в этой процедуре выбирается в виде дискретного инте-
гратора, передаточная функция которого 

( )

1

s

k

K z

z

, 

где  k  – параметр регулятора, коэффициент, подлежащий вычислению. 

Корректор динамики представляет собой динамическое звено с пе-

редаточной функцией вида 

( )

( )

( )

d

D z

K

z

B z

, 

(7.47) 

где 

1

2

1

2

1

0

( )

...

n

n

n

n

D z

d

z

d

z

d z

d ;  dim   ( )

1

D z

n

; 

i

d  – сво-

бодные коэффициенты регулятора, подлежащие вычислению. 

Выведем  основные  соотношения  метода.  В соответствии со струк-

турной схемой рис. 7.32 выражение для выхода имеет вид 

( )

( )

1

( )

1

( )

( )

( )

( )

1

( )

( )

( )

( )

s

s

d

s

d

K z W z

y z

v

M

K z W z

K

z W z

K z W z

K

z W z

. 

Выражение для ошибки в системе 

( )

( )

1

( )

( )

1

.

1

( )

( )

( )

( )

1

( )

( )

( )

( )

d

s

d

s

d

z

v

y z

K

z W z

v

M

K z W z

K

z W z

K z W z

K

z W z

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

262 

Подставим  в  последнее  выражение  вместо  K

s

(z)  его  передаточную 

функцию: 

(

1)(1

( )

( ))

( )

(

1)

( )

(

1)

( )

( )

d

d

z

K

z W z

z

z

kW z

z

K

z W z

(

1)

.

(

1)

( )

(

1)

( )

( )

d

z

v

M

z

kW z

z

K

z W z

(7.48) 

В статике k    , z   1 и, как видно из равенства (7.48), ошибка в 

установившемся режиме будет равна нулю при любых входе и возму-

щении. 

Рассмотрим  теперь  характеристическое  уравнение  замкнутой  сис-

темы и для этого приравняем нулю знаменатель из выражения (7.48): 

(

1)

( ) (

1)

( ) ( )

0.

d

z

kW z

z

K

z W z

Подставим в это выражение передаточную функцию объекта (7.46) 

и корректора динамики (7.47): 

( )

( )

( )

(

1)

(

1)

0

( )

( )

( )

B z

D z B z

z

k

z

A z

B z A z

. 

(7.49) 

Преобразовав  соотношение  (7.49),  можно  получить  характеристи-

ческое уравнение синтезируемой системы 

(

1)( ( )

( ))

( )

0

z

A z

D z

kB z

. 

 (7.50) 

Порядок характеристического уравнения системы равен (n + 1), т. е. 

необходимо задать (n + 1) желаемый корень  ,

1,

1

i

z

i

n

, откуда фор-

мируется желаемый характеристический полином: 

1

2

1

(

)(

)

(

)

( ),

n

z

z

z

z

z

z

C z



1

1

0

...

( ).

n

n

n

z

c z

c z

c

C z   (7.51) 

Приравнивая  левую  часть  характеристического  уравнения  (7.50)  и 

желаемый  характеристический  полином  (7.51),  получим  основное  ра-

бочее  соотношение  для  нахождения  искомых  параметров  регулятора 

(корректоров статики и динамики): 

(

1)( ( )

( ))

( )

( )

z

A z

D z

kB z

C z . 

 (7.52) 

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

263 

Далее необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых сте-

пенях z в левой и правой частях уравнения (7.52) и получить систему 
из  (n  +  1)  уравнения  для  нахождения 

i

d   и  k .  Легко  убедиться,  что 

число  искомых  параметров  совпадает  с  числом  уравнений,  система 
уравнений  является  линейной  и,  следовательно,  имеет  единственное 
решение. 

Передаточную  функцию  объекта до начала синтеза следует непре-

менно представить в стандартном нормированном виде. 

Обратим внимание на тот факт, что при получении характеристиче-

ского  уравнения  синтезируемой  системы  (7.50)  из  выражения  (7.49) 
для  упрощения  расчетов  был  сокращен  полином  B(z).  Это  означает, 
что в системе есть ненаблюдаемая часть, которая должна быть устой-
чивой для того, чтобы система в целом оставалась устойчивой. Из это-
го вытекает требование «обратимости» объекта, т. е. обратная переда-
точная функция 

1

( )

( )

( )

A z

W

z

B z

должна быть устойчивой, корни полинома B(z) должны удовлетворять 
условию 

1,

1,(

1)

i

z

i

n

. 

Проверка обратимости объекта управления должна выполняться до 

начала процедуры синтеза. 

Рассмотрим теперь

процедуру модального метода синтеза для ста-

тических систем.  

Структурная схема синтезируемой системы (рис. 7.32) остается без 

изменений,  корректор  статики  представляет  собой  пропорциональное 
звено: 

s

K

k . 

Выражение для ошибки системы принимает вид 

1

( )

( )

1

( )

1

( )

( )

( )

1

( )

( )

( )

d

d

d

K

z W z

z

v

M

kW z

K

z W z

kW z

K

z W z

, 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

264 

и  после  подстановки передаточных функций объекта (7.46) и коррек-
тора динамики (7.47) получаем 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

A z

D z

A z

z

v

M

A z

kB z

D z

A z

kB z

D z

. 

(7.53) 

Знаменатель  данного  выражения  –  характеристический  полином 

синтезируемой системы, его порядок равен n. 

Искомыми параметрами являются  , (

0,(

1))

i

d

i

n

 и  k . 

Основное  расчетное  соотношение  получим,  приравняв  характери-

стический  полином  системы  желаемому  характеристическому  поли-

ному, сформированному из желаемых корней системы 

( )

( )

( )

( )

A z

D z

kB z

C z

, 

(7.54) 

где    

1

1

2

1

1

0

( )

(

)(

)

(

)

...

n

n

n

n

C z

z

z

z

z

z

z

z

c

z

c z

c



    (7.55) 

– желаемый характеристический полином. 

Приравнивая  коэффициенты  при  одинаковых  степенях  z  в левой и 

правой  частях  уравнения (7.54), получим систему из  n уравнений для 
нахождения параметров регулятора 

i

d  и  k : 

,

0,(

1)

i

i

i

i

a

d

kb

c

i

n

(7.56) 

Как  видим,  система  уравнений  (7.56)  содержит  n  уравнений,  а  ис-

комых параметров на один больше, т.е. (n + 1), следовательно, необхо-

димо сформировать еще одно уравнение. 

Систему  уравнений  для нахождения искомых параметров регуля-

тора (7.56) дополним уравнением ошибки (7.53) в статике, при этом 

получим  (n  +  1)  уравнение  для  поиска  (n  +  1)  искомого  параметра 

регулятора: 

1

1

1

0

0

0

max

max

max

1

1

0

0

1

1

,

1

1

0, (

1).

n

n

n

i

i

i

i

i

i

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

a

d

a

v

M

c

c

a

d

kb

c

i

n

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

265 

Данная  процедура  синтеза  предполагает,  что  задается  абсолютная 

величина установившейся ошибки системы 

max

 либо ее относитель-

ное значение при заданных пределах изменения входа 

v

max

 и возмуще-

ния M

max

. 

Как мы видим, методика синтеза по выходу предполагает обратную 

связь по выходной переменной и это очень удобно при практическом 
синтезе, поскольку уменьшает чувствительность систем  к погрешнос-
тям построения математической модели объекта. 

ПРИМЕР  7.12 

Для  объекта,  математическая  модель  которого  задана  передаточной 

функцией 

2

0, 25

0,1

( )

0,9

z

W z

z

z

, 

выполнить  синтез  регулятора,  используя  процедуру  модального  метода 
синтеза статических систем по выходу. Изобразить структурную схему ре-
гулятора,  реализованную  на  звеньях  задержки.  Желаемые  свойства  систе-
мы заданы корнями: 

1

2

0;

0, 2

z

z

. Ошибка в статике 

1 %

, 

max

1;

V

max

0

M

. 

Проверим  управляемость  объекта.  Для  этого  представим  его  модель  в 

пространстве состояний: 

1

2

2

1

2

2

(

1)

0,9

( ) 0,1 ( ),

(

1)

( )

( ) 0, 25 ( ),

( )

( ),

x k

x k

u k

x k

x k

x k

u k

y k

x k

его матрицы 

0 0,9

1

1

A

; 

0,1

0, 25

B

; 

0 1

C

. 

Матрица управляемости 

0,1

0, 225

0, 25

0,15

U

B

AB

. 

Поскольку 

det

0, 07125

0,

U

объект управляем.