Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19998
Скачиваний: 136
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
266
Проверим наблюдаемость объекта. Матрица наблюдаемости
C
N
CA
=
=
0
1
1
1
. Поскольку det
1
0
N
, объект наблюдаем.
Проверим обратимость. Найдем корень числителя передаточной функ-
ции объекта: 0, 25
0,1
0
z
;
0,1
0, 4
0, 25
z
;
1
z
. Поскольку корень
устойчив, объект обратим.
В соответствии с (7.54) характеристическое уравнение замкнутой сис-
темы имеет вид
2
2
1
0
(1
0, 25 )
( 0, 9
0,1 )
0, 2
z
d
K z
d
K
z
z .
Уравнение статики системы
1
0
0
1
0
1 0,1 (
)
1
1, 375 1, 25(
)
0, 01
1 ( 0, 2)
d
d
d
d
.
Используя два последних уравнения, запишем систему уравнений для
искомых параметров регулятора:
1
0
1
0
1
0, 25
0, 2,
0,9 0,1
0,
1,375 1, 25(
)
0, 01,
d
K
d
K
d
d
1
0
1, 766,
0, 674,
2, 26.
d
d
k
Передаточную функцию корректора динамики приведем к нормирован-
ному виду:
1, 766
0, 674
( )
0, 25
0,1
d
z
K
z
z
7, 064
2, 696
0, 4
z
z
.
Структурная схема синтезированной системы приведена на рис. 7.33.
7.5. Синтез линейных импульсных систем
267
0,1
–1
z
–1
z
0,9
0,25
)
(
)
(
k
y
k
x2
)
1
(k
x2
)
(k
x
1
)
1
(k
x
1
u(k)
2,26
v(k)
–1
z
7,064
–
0,4
–
2,696
S
K
d
K
Объект
Рис. 7.33. Структурная схема системы, синтезированной в примере 7.11
7.5.5. ПРОЦЕДУРА МОДАЛЬНОГО МЕТОДА СИНТЕЗА
ПО СОСТОЯНИЮ
Эта процедура предполагает обратные связи по переменным со-
стояния, что предъявляет более высокие требования к точности по-
строения моделей объектов управления.
Пусть задана модель объекта в матричной форме, а управление
формируется в виде обратных связей по состоянию объекта:
(
1)
( )
( ),
( )
( ).
x k
Ax k
Bu k
u k
Kx k
(7.57)
Будем считать, что вектор состояния x(k) полностью измерим. Мат-
рица обратных связей K, как видно из системы уравнений (7.57), имеет
следующую размерность:
m n
K
R
Подставим управление в уравнения объекта:
(
1)
( )
(
( ))
x k
Ax k
B
Kx k
,
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
268
преобразуем последнее уравнение
(
1)
(
) ( )
x k
A
BK x k
.
(7.58)
Из уравнения (7.58) сформируем характеристический полином син-
тезируемой системы и приравняем его желаемому C(z), найденному
аналогично (7.55):
det[
]
( )
zI
A
BK
C z
.
(7.59)
Порядок характеристического уравнения системы равен n, следова-
тельно, число уравнений, порождаемых основным расчетным соотно-
шением (7.59), также равно n, т.е. меньше, чем количество искомых
коэффициентов матрицы K, поэтому часть коэффициентов можно за-
дать произвольно, часто их задают нулевыми, но n штук коэффициен-
тов матрицы K должны остаться свободными.
Рекомендация: при выборе свободных коэффициентов
,
i j
k
матри-
цы K (n штук) необходимо, чтобы в каждый коэффициент характери-
стического уравнения при степенях z левой части последнего равенст-
ва (7.59) вошел хотя бы один из свободных коэффициентов.
Реализация статики в многоканальной системе
В управляющее воздействие добавляется еще одна составляющая
(
1)
( )
( ),
( )
( )
,
( )
( ),
x k
Ax k
Bu k
u k
Kx k
Dv
y k
Cx k
(7.60)
где
m m
D
R
– квадратная матрица, обеспечивающая требуемые ста-
тические свойства системы; v – входное задающее воздействие; мер-
ности векторов традиционные: ( , , )
m
u y v
R .
Преобразуем систему уравнений (7.60), подставив управление в
первое уравнение:
(
1)
(
) ( )
,
( )
( ).
x k
A
BK x k
BDv
y k
Cx k
.
(7.61)
7.5. Синтез линейных импульсных систем
269
Для нахождения матрицы D запишем уравнения статики синтези-
руемой системы по уравнениям (7.61) и сделаем соответствующие
преобразования:
*
0
0
0
0
(
)
,
,
A
x
A
BK x
BDv
y
Cx
где
*
A – желаемая матрица синтезируемой системы, имеющая желае-
мый набор собственных чисел;
0
0
,
x
y – установившиеся значения век-
тора состояния и вектора выхода.
Так как выход в статике должен повторять входное задающее воз-
действие
0
1
*
(
)
I
y
C I
A
BD v
,
то окончательное выражение для вычисления искомой матрицы D
принимает вид
1
1
*
D
C I
A
B
.
Найденная матрица D обеспечивает требуемые статические свойст-
ва системы при отсутствии возмущений, действующих на объект.
Полная структурная схема синтезируемой системы приведена на
рис. 7.34.
-1
z
B
D
C
A
K
Объект
v
u
x
y
Рис. 7.34. Структурная схема системы, построенная в соответствии
с процедурой модального метода синтеза по состоянию
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
270
7.5.6. ПРОЦЕДУРА МОДАЛЬНОГО МЕТОДА СИНТЕЗА
ПО СОСТОЯНИЮ ДЛЯ ОДНОКАНАЛЬНОГО ОБЪЕКТА
Модель объекта стандартная, и управляющее воздействие форми-
руется так же, как для многоканального объекта (7.57).
Отличие от предыдущей процедуры только в мерностях векторов и
матриц:
1
1
( , , )
,
,
n
u y v
R
K
R
матрица K – теперь матрица строка.
Процедура синтеза значительно облегчается, если модель объекта
представить в «прямой» форме (см. подразд. 7.2.9), при этом полагаем,
что коэффициенты матриц А, В, С порождены передаточной функцией
одноканального объекта:
1
1
1
0
1
1
1
0
...
( )
...
n
n
n
n
n
b
z
b z
b
W z
z
a
z
a z
a
,
0
1
2
1
0
1
0
...
0
0
0
1
...
0
...
...
...
...
...
0
0
0
...
1
...
n
A
a
a
a
a
;
0
0
0
...
1
B
;
0,
1
1
,
,
n
C
b
b
b
;
0
1
1
,
,
,
n
K
k
k
k
.
Если выпишем уравнения замкнутой системы (7.61):
(
1)
(
) ( )
x k
A
BK x k
,
то матрица правой части вычислится следующим образом: