Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

271 

*

0

0

1

1

2

2

1

1

0

1

0

...

0

0

0

1

...

0

...

...

...

...

...

0

0

0

...

1

...

n

n

A

BK

A

a

k

a

k

a

k

a

k

. 

В  характеристическое  уравнение  синтезированной системы войдут 

только  коэффициенты  из  последней  строки  этой  матрицы,  следова-

тельно, система уравнений для нахождения коэффициентов матрицы K 

выглядит так: 

i

i

i

i

i

i

a

k

c

k

c

a , 

0; (

1)

i

n

, 

где 

i

c   –  коэффициенты  желаемого  характеристического  полинома, 

аналогичного (7.55). 

7.5.7. ПОСТРОЕНИЕ ОДНОКАНАЛЬНЫХ  

АСТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ  

Здесь мы воспользуемся свойством астатизма замкнутых систем, в 

прямом  канале  которых  имеется  интегратор (в данном случае цифро-

вой),  для  того  чтобы  обеспечить  желаемую  статику  при  действии  на 

объект возмущающих воздействий. Схема такой системы приведена на 
рис. 7.35, где 

1

1

1

и

,   ,

,  

,  

.

n

n

x

R

u y

R

K

R

k

R  

1

z

B

и

k

A

K

Объект

1

z

4

x

v

y

u

x

C

Рис.  7.35.   Структурная  схема   астатической  системы,   построенной  

в соответствии с процедурой модального метода синтеза по состоянию 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

272 

Матричная модель одноканального объекта – стандартная: 

(

1)

( )

( ),

( )

( ).

x k

Ax k

Bu k

y k

Cx k

(7.62) 

Рассмотрим процедуру синтеза на примере объекта третьего поряд-

ка, представленного в «прямой» форме: 

0

1

2

0

1

0

0

0

1

A

a

a

a

;         

0

0

1

B

;        

0

1

2

C

b

b

b

. 

Расширим модель объекта, добавив разностное уравнение интегратора 

в (7.62): 

4

4

и 4

(

1)

( )

( ),

(

1)

( )

( )

,

( )

( )

( ),

( )

( ).

x k

Ax k

Bu k

x k

v k

y k

x

u k

k x k

Kx k

y k

Cx k

Для  рассматриваемой  замкнутой  системы  с  объектом  третьего  по-

рядка расширенная система уравнений принимает вид 

1

2

2

3

3

0

0

1

1

1

2

2

2

3

и 4

4

0 1

1 2

2 3

4

0 1

1 2

2 3

(

1)

( ),

(

1)

( ),

(

1)

(

) ( )

(

)

( )

(

)

( )

( ),

(

1)

( )

( )

( )

( ),

( )

( )

( )

( ).

x k

x k

x k

x k

x k

a

k x k

a

k x k

a

k x k

k x k

x k

v b x k

b x k

b x k

x k

y k

b x k

b x k

b x k

 (7.63) 

Запишем матрицу правой части расширенной системы (7.63): 

0

0

1

1

2

2

и

0

1

2

0

1

0

0

0

0

1

0

1

A

a

k

a

k

a

k

k

b

b

b

. 

7.5. Синтез линейных импульсных систем 

273 

Основное  расчетное  соотношение  получаем  традиционным  образом, 

приравнивая  характеристический  полином  замкнутой  системы  и  же-

лаемый характеристический полином: 

1

1

det

( ),

( )

(

)

n

i

i

zI

A

C z

C z

z

z . 

 (7.64) 

Систему  уравнений  для  нахождения  искомых  параметров  регулятора 

получаем,  приравнивая  коэффициенты  при  одинаковых  степенях  z  в 

правой и левой частях основного расчетного соотношения (7.64): 

3

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

и

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

c

a

k

b

c

a

a

k

b

c

a

a

k

b

c

a

k

. 

 (7.65) 

На  примере  системы  третьего  порядка  видно,  что  система  уравне-

ний для поиска параметров регулятора (7.65) хорошо структурирована. 

Аналогичную систему уравнений легко получить для объекта второго 

порядка,  а  далее,  используя  метод  математической  индукции,  можно 

записать систему уравнений, позволяющую рассчитать параметры ре-

гулятора для объекта произвольного порядка.  

Важно отметить, что для реализации процедуры модального метода 

синтеза  по  состоянию  необходимо  иметь полную информацию о век-

торе состояния либо найти его оценку. 

Выводы.  В  этом  подразделе  мы  рассмотрели  два  способа  синтеза 

цифровых  систем  управления,  каждый  из которых имеет свою область 

применения. Процедура модального метода синтеза по выходу предпо-

лагает представление модели объекта в операторной форме, и при этом 

к модели объекта, кроме общих требований управляемости и наблюдае-

мости, предъявляется требование устойчивости обратной модели. 

При  использовании  процедуры  модального  метода  синтеза  по  со-

стоянию  модель  объекта  задается  в  виде  матричного  разностного 

уравнения и не требуется устойчивость обратной модели объекта. В то 

же время данная процедура предполагает, что в алгоритме управления 

используется полный вектор состояния объекта, который должен быть 

измерим, а это встречается в реальных условиях крайне редко, либо в 

Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 

274 

алгоритме  управления  используется  оценка  вектора  состояния,  полу-

ченная  с  помощью  специальных  динамических  подсистем,  называе-

мых фильтрами оценки состояния или наблюдателями состояния. 

7.6. НАБЛЮДАТЕЛИ СОСТОЯНИЯ 

При  синтезе  регуляторов  и  при  решении  других  задач  управления 

появляется необходимость в оценке полного вектора состояния объек-

та  в  реальном  времени.  Для  решения  этой  задачи  используются  раз-

личные  алгоритмы,  которые  реализуются  в  виде  динамических  под-

систем,  позволяющих  эти  оценки  получить.  Предполагается,  что 

объект  управления  является  наблюдаемым.  Рассмотрим  здесь  основ-

ные способы оценивания состояния объектов управления. 
 
 

7.6.1.  ОПЕРАТОРНАЯ ПРОЦЕДУРА  

СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ 

Используем математическую модель объекта управления в виде пе-

редаточной  функции,  т.е.  в  операторной  форме,  поэтому  процедура 

синтеза наблюдателей называется «операторной». 

Рассмотрим  структуру  наблюдателя 

Люинбергера  [46] 

(рис.  7.36). 

Идея наблюдателя заключается в том, что параллельно объекту управ-
ления  W(z)  включается  динамическая  подсистема,  в  состав  которой 

входит модель объекта управления 
(передаточные  функции  W

M

(z)  и 

W(z)  совпадают).  Кроме  этого, 
включен  стабилизирующий  кор-
ректор  L(z),  который  позволяет 
процессы  в  наблюдателе  сделать 
устойчивыми,  даже  если  объект 
управления  неустойчив.  Этот  кор-
ректор  позволяет  обеспечить  тре-
буемое качество сходимости к ну-
лю  разницы 

  между  выходом 

объекта  y  и  выходом  модели  y

М

:  

 = y – y

М

. 

u

y

M

y

(-)

)

(

1

2

...

n

x x

x

( )

W z

( )

L z

( )

M

W

z

...

Наблюдатель

Рис. 7.36. Структурная схема наблю-

дателя Люинбергера 

7.6. Наблюдатели состояния 

275 

Рассмотрим  свойства  наблюдателя.  Запишем  операторное  выраже-

ние для ошибки в соответствии со структурной схемой (рис. 7.36): 

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

М

z

W z u z

W

z u z

L z

z

. 

 (7.66) 

Поскольку передаточные функции W(z) и W

M

(z) совпадают: 

( )

( )

( )

( )

M

B z

W z

W

z

A z

, 

выражение (7.66) после преобразования принимает вид 

( )

( ) ( )

( )

0

A z

B z L z

z

. 

Это однородное разностное уравнение; в случае устойчивости его ре-
шений  положение  равновесия  по    будет  равно  нулю,  т. е.  начиная  с 

некоторого момента времени выход модели y

М 

будет как угодно точно 

повторять выход объекта y, при этом можно предположить, что вектор 
состояния  модели 

1

2

,

,...,

n

X

x

x

x

  с  той  же  точностью  повторяет 

вектор состояния объекта 

1

2

,

,...,

n

X

x

x

x

. 

Характеристическое уравнение наблюдателя: 

( )

( ) ( )

0

A z

L z B z

. 

(7.67) 

Корни такого уравнения должны соответствовать требуемому каче-

ству  процессов  по  ошибке  .  С  помощью  корректора  L(z)  заданные 

корни можно реализовать. Рассмотрим это на примерах. 

ПРИМЕР  7.13 

Синтезируется наблюдатель  для объекта  первого порядка  с передаточ-

ной функцией 

0

0

( )

b

W z

z

a

. 

Характеристическое  уравнение  наблюдателя  в  соответствии  с  (7.67)  для 

этого объекта 

0

0

( )

0

z

a

L z b

.