Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19996
Скачиваний: 136
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
276
Корректор для этого случая выберем в виде
0
( )
L z
l , тогда характеристи-
ческое уравнение наблюдателя примет вид
0
0 0
0
z
a
l b
.
Поскольку характеристическое уравнение имеет первый порядок, необ-
ходимо задать один желаемый корень наблюдателя z
1
и сформировать же-
лаемый характеристический полином C(z). В результате получаем искомый
параметр корректора l
0
1
0
0 0
1
0
1
0
0
( )
/
C z
z
z
a
l b
z
l
z
a
b
.
Потребуем, чтобы процессы в контуре имели минимальную длитель-
ность, тогда
0
0 0
0
0
0
( )
0
/
c z
z
a
l b
l
a
b .
ПРИМЕР 7.14
Наблюдатель для объекта второго порядка. Полиномы передаточной
функции объекта второго порядка имеют вид
2
1
0
1
0
( )
,
( )
.
A z
z
a z
a
B z
b z b
Корректор L(z) выбираем пока нереализуемый (без полинома знаменателя):
1
0
( )
L z
l z
l .
Характеристическое уравнение корректора для этого случая в соответствии
с (7.67)
2
1
0
1
0
1
0
(
)(
)
0
z
a z
a
l z
l
b z
b
.
Приведем это характеристическое уравнение к расчетному виду и прирав-
няем его к желаемому характеристическому полиному, сформированному
с помощью двух желаемых корней:
2
2
1
0 1
1 0
0
0 0
1
0
1 1
1 1
1
1
a
b l
b l
a
b l
z
z
z
c z
c
b l
b l
.
Система уравнений для вычисления параметров корректора l
0
и l
1
по-
лучается следующая:
1
0 1
1 0
1
1 1
0
0 0
0
1 1
,
1
.
1
a
b l
b l
c
b l
a
b l
c
b l
(7.68)
7.6. Наблюдатели состояния
277
Потребуем, чтобы процессы в наблюдателе имели минимальную длитель-
ность, тогда система (7.68) упростится
1
1 0
0 1
0
0 0
0,
0,
a
b l
b l
a
b l
и в результате получим искомые параметры корректора
0
0 1
1 0
0
1
2
0
0
,
a
a b
a b
l
l
b
b
.
ПРИМЕР 7.15
Синтезируется наблюдатель для объекта второго порядка с реализуемым
корректором. Выбираем корректор в виде передаточной функции, у которой
порядок полинома числителя равен порядку полинома знаменателя:
1
0
0
( )
l z
l
L z
z
.
Как известно, такая передаточная функция является реализуемой, в отли-
чие от предыдущего примера.
Запишем характеристическое уравнение наблюдателя (7.67), прирав-
няем его желаемому характеристическому полиному, тогда расчетное
соотношение для нахождения параметров корректора принимает вид
2
3
2
1
0
0
1
0
1
0
2
1
0
(
)(
)
(
)(
)
z
a z
a
z
b z
b
l z
l
z
c z
c z
c ,
где в правой части – характеристический полином наблюдателя, а в левой –
желаемый характеристический полином, сформированный из желаемых
корней. Как видим, порядок наблюдателя равен (2n – 1) = 3, где n = 2 – по-
рядок объекта.
Система уравнений для расчета искомых параметров корректора, по-
рождаемая последним уравнением, приведена ниже:
1
0
1 1
2
0
1 0
1 0
0 1
1
0 0
0 0
0
,
,
,
a
b l
c
a
a
b l
b l
c
a
b l
c
или в векторно-матричной форме:
1
0
2
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
b
c
a
a
b
b
l
c
a
a
b
l
c
.
(7.69)
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
278
ПРИМЕР 7.16
Синтезируется наблюдатель для объекта третьего порядка. По аналогии
с примером 7.15 корректор выбираем в виде передаточной функции поряд-
ка (n–1):
2
2
1
0
2
1
0
( )
l z
l z
l
L z
z
z
.
Основное расчетное соотношение для этого случая:
3
2
2
2
1
0
1
0
z
a z
a z
a
z
z
2
2
2
1
0
2
1
0
( )
b z
b z
b
l z
l z
l
c z ,
а порождаемая им система уравнений для расчета параметров корректора
получается следующего вида:
2
4
2
0
2
2
1
3
1
1
2
1
2
1
0
2
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
2
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
b
c
a
a
b
b
c
a
a
a
b
b
b
c
a
l
a
a
b
b
c
l
a
b
c
l
.
(7.70)
Выводы
1. Порядок корректора L(z) для таких наблюдателей равен (n – 1),
где n – порядок объекта.
2. Порядок наблюдателя в целом равен (2n – 1).
3. Минимальное время сходимости процессов в наблюдателе не бо-
лее (2n – 1) шагов.
4. На основании анализа систем уравнений (7.69) и (7.70) методом
математической индукции аналогичную систему уравнений для расче-
та параметров корректора можно построить для объекта любого по-
рядка.
7.6. Наблюдатели состояния
279
7.6.2. МАТРИЧНАЯ ПРОЦЕДУРА
СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ
Здесь рассмотрим процедуру синтеза наблюдателей, в которой ис-
пользуется математическая модель объекта в векторно-матричной
форме, поэтому процедуру назовем «матричной»:
(
1)
( )
( ),
( )
( ),
x k
Ax k
Bu k
y k
Cx k
(7.71)
размерности векторов и матриц стандартные:
;
,
;
;
;
.
n
m
n n
n m
m n
x
R
u y
R
A
R
B
R
C
R
Объект должен обладать свойством наблюдаемости.
Как видно из структурной схемы (рис. 7.37), данный наблюдатель
дает возможность найти оценку вектора состояния ( )
x k
, кроме того, он
позволяет получить прогноз вектора состояния
(
1)
x k
, а с его
помощью можно получить прогноз выхода объекта, что может оказаться
полезным при решении задач синтеза регуляторов.
1
z
B
A
Объект
L
М
B
М
A
Наблюдатель
М
C
u
( )
x k
( )
М
y
k
( )
y k
( )
x k
(
1)
x k
(
1)
x k
)
(
)
(
C
1
z
Рис. 7.37. Структурная схема наблюдателя, синтезированного
по матричной процедуре
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
280
Представим систему уравнений, описывающих динамические свой-
ства наблюдателя:
(
1)
( )
( )
( ),
( )
( ),
( )
( )
( ),
M
M
M
M
M
x k
A x k
B u k
L
k
y
k
C x k
k
y k
y
k
(7.72)
где
,
,
M
M
M
A
A
B
B
C
C ;
n m
L
R
– матрица-корректор на-
блюдателя. Порядок наблюдателя совпадает с порядком объекта.
Введем новую переменную как невязку между вектором состояния
объекта и вектором состояния наблюдателя:
( )
( )
( )
e k
x k
x k
,
сдвинем аргумент в этом уравнении на один шаг вперед:
(
1)
(
1)
(
1)
e k
x k
x k
.
(7.73)
Подставим (
1)
x k
и
(
1)
x k
в выражение (7.73) из уравнений
(7.71) и (7.72), получим разностное уравнение для невязки
(
1)
(
) ( )
e k
A
LC e k
.
(7.74)
Уравнение для невязки (7.74) является однородным. Если наблюдатель
устойчив, то e(k) стремится к нулю и при этом ( )
x k
стремится к x(k).
Основное расчетное соотношение для вычисления параметров кор-
ректора (матрицы L) получим из выражения (7.74), записав характери-
стическое уравнение наблюдателя
det(
)
( )
zI
A
LC
C z
,
(7.75)
где C(z) есть желаемый характеристический полином наблюдателя,
сформированный из желаемых корней.
Число уравнений, порождаемых основным расчетным соотношени-
ем (7.75), меньше, чем количество искомых коэффициентов матрицы-
корректора, поэтому часть коэффициентов можно задать произвольно,
нередко их задают нулевыми, но n штук коэффициентов матрицы L
должны остаться свободными.
Рекомендация: при выборе свободных коэффициентов
,
i
j
l
матри-
цы-корректора (n штук) необходимо, чтобы в каждый коэффициент
характеристического уравнения при степенях z левой части уравнения
(7.75) вошел хотя бы один из свободных коэффициентов.