Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19994
Скачиваний: 136
7.6. Наблюдатели состояния
281
ПРИМЕР 7.17
Синтезируется наблюдатель для объекта второго порядка. Запишем
матрицы модели одноканального объекта второго порядка:
0
1
0
1
A
a
a
;
0
1
B
;
0
1
C
b
b
;
0
1
l
L
l
.
Характеристическое уравнение наблюдателя имеет вид
0 0
0 1
0
1
1 0
1 1
0
1
0
det
0
0
l b
l b
z
a
a
l b
l b
z
.
Потребуем, чтобы в наблюдателе были процессы минимальной дли-
тельности, тогда
0 0
0 1
2
0
1 0
1
1 1
1
det
z
l b
l b
z
a
l b
z
a
l b
.
Уравнения для вычисления параметров наблюдателя получим следующие:
0 0
1 1
1
0 0 1 1
0 1 0
0
1 0
0,
0.
l b
l b
a
l b l b
l b a
a
l b
7.6.3. МАТРИЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ
ДЛЯ ОДНОКАНАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
Модель одноканального объекта выглядит так же, как многока-
нального (7.71). Отличие от предыдущей процедуры только в мерно-
стях векторов и матриц:
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
n
n n
n
n
n
x
R
y u
R
A
R
B
R
C
R
L
R
.
Полагаем, что коэффициенты матриц А, В, С порождены переда-
точной функцией одноканального объекта:
1
1
0
1
1
0
...
( )
...
n
n
n
n
n
b
z
b
W z
z
a
z
a
.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
282
Процедура синтеза значительно облегчается, если модель объекта
представлять в «транспонированной» форме (см. подразд. 7.2.12):
0
1
2
1
0
0
...
0
1
0
...
0
0
1
...
0
... ... ... ...
...
0
0
...
1
n
a
a
a
A
a
;
0
1
2
1
...
n
b
b
b
B
b
;
0
0
0 ... 1
C
;
0
1
2
1
...
n
l
l
l
L
l
.
Запишем матрицу правой части разностного уравнения наблюдате-
ля аналогично (7.74):
0
0
1
1
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
n
n
...
a
...
l
...
a
...
l
...
a
...
l
A
LC
... ... ... ...
...
... ... ... ...
...
...
a
...
l
0
0
1
1
2
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
.
0
0
1
n
n-
...
a
l
...
a
l
...
a
l
... ... ... ...
...
...
a
l
(7.76)
В характеристическое уравнение наблюдателя (7.75) войдут только
коэффициенты из последнего столбца матрицы (7.76), следовательно,
система уравнений для нахождения коэффициентов матрицы-коррек-
тора L выглядит так:
i
i
i
i
i
i
a
l
c
l
c
a ,
0; (
1)
i
n
,
где с
i
– коэффициенты желаемого характеристического полинома C(z).
ПРИМЕР 7.18
Синтезируется наблюдатель для объекта третьего порядка. Рассмотрим
процедуру синтеза на примере одноканального объекта третьего порядка.
Модель объекта представим в «транспонированной» форме:
7.6. Наблюдатели состояния
283
0
1
2
0
0
1
0
0
1
a
A
a
a
;
0
1
2
b
B
b
b
;
0 0 1
C
;
0
1
2
l
L
l
l
.
Матрица правой части разностного уравнения наблюдателя
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
1
0
0
0
1
0
(
)
0
1
0
0
0
1
(
)
a
l
a
l
A
LC
a
l
a
l
a
l
a
l
.
Параметры матрицы-корректора L вычисляются в выбранном базисе очень
просто:
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
.
l
c
a
a
l
c
a
l
c
l
c
a
a
l
c
l
c
a
7.6.4. НАБЛЮДАТЕЛИ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА
Идея синтеза наблюдателя пониженного порядка состоит в исполь-
зовании тех координат состояния, которые доступны измерению. Для
оценки оставшейся части переменных можно построить наблюдатель,
порядок которого ниже порядка объекта.
Пусть математическая модель объекта, для которого необходимо
построить наблюдатель, задана в стандартной форме
(
1)
( )
( ),
( )
( ).
x k
Ax k
Bu k
y k
Cx k
Размерности векторов, входящих в систему уравнений, следующие:
n
x
R , ( , )
m
u y
R .
Разделим теперь вектор состояния объекта на две компоненты:
н
n m
x
R
и
и
m
x
R
н
и
[
,
]
T
x
x
x
,
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
284
где
н
x – наблюдаемая часть вектора состояния;
и
x – измеряемая часть
вектора состояния.
Перейдем к новому вектору состояния, в котором в качестве изме-
ряемой компоненты используется вектор выхода y:
н
1
x
x
y
,
1
x
Px .
(7.77)
Преобразуем исходную модель объекта, используя разделение вектора
состояния на две компоненты:
н
11
12
н
1
и
21
22
и
2
н
1
2
и
(
1)
( ),
(
1)
.
x k
A
A
x
B
u k
x k
A
A
x
B
x
y
C
C
x
(7.78)
Найдем матрицу связи между исходным и новым вектором состояния.
Воспользуемся для этого выражением (7.77), предварительно разделив
матрицу P на клетки:
11
12
н
н
21
22
и
P
P
x
x
P
P
x
y
н
11 н
12 и
21 н
22 и
,
.
x
P x
P x
y
P x
P x
Легко показать, воспользовавшись уравнением выхода из системы
уравнений (7.78), что клетки матрицы P принимают значения:
(
) (
)
(
)
11
12
(
)
21
1
22
2
;
0
;
;
,
n m
n m
n m
m
m
n m
m m
P
I
R
P
R
P
C
R
P
C
R
следовательно, матрица P имеет вид
1
2
0
I
P
C
C
.
7.6. Наблюдатели состояния
285
Запишем уравнения объекта в новом базисе:
н
н
1
11
12
2
21
22
н
(
1)
( )
( ),
(
1)
( )
( )
( )
.
( )
x k
x k
B
A
A
u k
y k
y k
B
A
A
x k
y k
C
y k
(7.79)
Матрицы объекта в новом базисе вычисляются по обычной процедуре:
1
A
PAP , B
PB ,
1
C
CP
.
Выведем теперь уравнения наблюдателя и для этого преобразуем
уравнения объекта (7.79):
н
11 н
12
1
21 н
22
2
(
1)
( )
( )
( ),
(
1)
( )
( )
( ).
x k
A x k
A y k
B u k
y k
A x k
A y k
B u k
(7.80)
Уравнение наблюдателя сформируем из первого уравнения системы
(7.80):
н
11 н
12
1
(
1)
( )
( )
( )
( )
x k
A x k
A y k
B u k
L
k ,
(7.81)
где L – матрица-корректор наблюдателя, а (k) – невязка, которую
сформируем, используя второе уравнение системы (7.80):
21 н
22
2
( )
(
1)
( )
( )
k
y k
A x
A y k
B U k .
(7.82)
Подставим уравнение (7.82) в уравнение (7.81):
н
11 н
12
1
21 н
22
2
(
1)
( )
( )
( )
(
1)
( )
( )
( ) .
x k
A x k
A y k
B u k
L y k
A x k
A y k
B u k
(7.83)
Соотношение (7.83) и есть математическая модель наблюдателя по-
ниженного порядка, а
н
( )
x k – оценка наблюдаемой части вектора со-
стояния, полученная с помощью этого наблюдателя.
На рис. 7.38 показана структурная схема наблюдателя пониженного
порядка, построенная в соответствии с его математической моделью
(7.83).