Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19990
Скачиваний: 136
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
286
A
-1
Z
2
B
A
A
A
L
1
B
12
A
11
A
21
A
22
A
(
1)
y k
( )
y k
н
( )
x k
( )
u k
1
z
Рис. 7.38. Структурная схема наблюдателя пониженного порядка
В схеме, приведенной на рис. 7.38, присутствует прогноз вектора
выхода объекта y(k + 1), поэтому необходимо модифицировать исход-
ную структурную схему наблюдателя, используя известные структур-
ные преобразования. Результат этих преобразований приведен на
рис. 7.39.
A
-1
Z
1
z
2
B
A
A
A
L
1
B
12
A
11
A
21
A
22
A
( )
y k
н
( )
x k
( )
u k
L
( )
Рис. 7.39. Реализуемая структурная схема наблюдателя
пониженного порядка
7.6. Наблюдатели состояния
287
Для расчета коэффициентов матрицы-корректора наблюдателя L
преобразуем его математическую модель. Введем новую переменную:
н
н
( )
( )
( )
e k
x k
x k
н
н
(
1)
(
1)
(
1)
e k
x k
x k
Разностное уравнение для новой переменной запишем, воспользо-
вавшись уравнениями объекта (7.80) и наблюдателя (7.83):
11
21
(
1)
(
) ( )
e k
A
LA
e k ,
(7.84)
где
(
) (
)
(
)
(
)
11
21
,
,
n m
n m
m n m
n m m
A
R
A
R
L
R
. Разностное уравне-
ние (7.84) дает возможность записать характеристическое уравнение
наблюдателя пониженного порядка, а оно, в свою очередь, найти па-
раметры матрицы-корректора наблюдателя L. По известной процедуре
модального метода синтеза, в соответствии с требованиями к динами-
ческим свойствам наблюдателя, задаются корни его характеристиче-
ского уравнения, из которых формируется желаемый характеристиче-
ский полином. Приравнивая характеристический полином наблюда-
теля и желаемый характеристический полином, получаем расчетное
соотношение для нахождения параметров матрицы-корректора L:
11
21
det
( )
zI
A
LA
C z .
(7.85)
Как и для обычного матричного наблюдателя, число уравнений, по-
рождаемых основным расчетным соотношением (7.85), меньше, чем
количество искомых коэффициентов матрицы-корректора, поэтому
часть коэффициентов можно задать произвольно, нередко их задают
нулевыми, но (n – m) штук коэффициентов матрицы L должны остать-
ся свободными.
ПРИМЕР 7.19
Рассчитать наблюдатель пониженного порядка для объекта, математи-
ческая модель которого задана следующей системой разностных уравне-
ний:
1
1
2
2
2
2
1
1
(
1)
0,1 ( ) 0, 4
( ) 0,5 ( ),
(
1)
0,3 ( ) 0, 2
( ) 0, 6 ( ),
( )
( ) 0,5
( ).
k
x k
x k
u k
x k
x k
x k
u k
y k
x k
x k
x
Желаемая динамика наблюдателя задана корнем
0, 01
z
.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
288
Решение:
Запишем матрицы объекта:
0,1
0, 4
0,5
;
;
1, 0 0,5
0,3
0, 2
0, 6
A
B
C
.
Проверим наблюдаемость объекта:
1, 0
0,5
det
det
0,525
0
0, 05
0,5
C
CA
– объект наблюдаем.
Новый вектор состояния сформируем следующим образом:
н
1
,
x
x
и
x
y , тогда матрица связи между исходным и новым вектором состояния
1
2
1
0
0
1 0,5
I
P
C
C
.
Найдем матрицы объекта в новом базисе:
1
1
0, 7
0,8
0,5
;
;
0 1
1, 05
1, 0
0,8
A
PAP
B
PB
C
CP
.
В соответствии с выражением (7.83) определим значение параметра кор-
ректора наблюдателя:
0, 7
1, 05
0, 01
0, 6571
z
l
z
l
.
Запишем уравнение наблюдателя в соответствии с выражением (7.83),
используя найденные матрицы объекта в новом базисе:
1
1
1
(
1)
0, 7
( ) 0,8 ( ) 0,5 ( )
( (
1) 1, 05 ( )
( ) 0,8 ( )).
x k
x k
y k
u k
l y k
x k
y k
u k
В последнее выражение подставим значение параметра корректора l и
приведем подобные:
1
1
(
1)
0, 01 ( ) 0,1429 ( ) 0, 0257 ( ) 0, 6571 (
1)
x k
x k
y k
u k
y k
.
Введем новую переменную
1
1
1
( )
( ) 0, 6571 ( )
( )
( ) 0, 6571 ( )
(
1)
(
1) 0, 6571 (
1)
k
x k
y k
x k
k
y k
k
x k
y k
и преобразуем уравнение наблюдателя
1
(
1)
0, 01 ( ) 0,1369 ( ) 0, 0257 ( ),
( )
( ) 0, 6571 ( ).
k
e k
y k
u k
x k
k
y k
Последняя система уравнений позволяет реализовать наблюдатель пони-
женного порядка для заданного объекта управления.
7.6. Наблюдатели состояния
289
7.6.5. ОСОБЕННОСТИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
С НАБЛЮДАТЕЛЯМИ
При применении наблюдателя для получения оценки вектора со-
стояния, которая в последующем используется в обратной связи, необ-
ходимо учитывать тот факт, что наблюдатель представляет собой ди-
намическую подсистему, свойства которой влияют на динамику систе-
мы в целом. Оценим это влияние. Для этого запишем полную систему
уравнений, описывающую объект управления с регулятором и наблю-
дателем, используя соотношения (7.57) и (7.72):
н
н
н н
н
н
н
н н
(
1)
( )
( ),
( )
( ),
( )
( ),
(
1)
( )
( )
(
),
( )
( ).
x k
Ax k
Bu k
y k
Cx k
u k
Kx k
x k
A x k
B u k
L y
y
y k
C x k
(7.86)
Введем новую переменную:
н
н
( )
( )
( )
( )
( )
( )
k
x k
x k
x k
x k
k
н
(
1)
(
1)
(
1)
k
x k
x k
.
Перепишем исходную систему уравнений (7.86), используя новую пере-
менную, а также примерное равенство матриц объекта и наблюдателя:
(
1)
( )
( )
( ),
(
1)
( )
( ).
x k
Ax k
BKx k
BK
k
k
A
k
LC
k
Запишем это выражение в матричном виде:
(
1)
( )
0
(
1)
( )
A
BK
BK
x k
x k
A
LC
k
k
.
Матрица правой части разностного уравнения получилась треугольная.
Характеристическое уравнение системы с наблюдателем имеет вид
det
0
0
A
BK
BK
zI
A
LC
.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
290
Для треугольной квадратной матрицы имеет место следующее
свойство:
det(
) det(
)
0
zI
A
BK
zI
A
LC
,
т. е. собственные числа этой матрицы представляют собой две группы,
первая из которых – это группа желаемых корней синтезируемой сис-
темы, вторая – группа желаемых корней наблюдателя, используемого
для оценки вектора состояния объекта.
Динамика полной системы с регулятором и наблюдателем описы-
вается двумя независимыми наборами корней:
• желаемые корни системы реализуются с помощью матрицы K;
• желаемый набор корней наблюдателя состояния реализуется
с помощью матрицы обратных связей L.
Оба набора корней можно формировать независимо друг от друга.
Отметим, что наблюдатель – неуправляемая подсистема.
7.7. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ
ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ
7.7.1. НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛОГ
В инженерной практике систем с обратной связью широкое распро-
странение получили так называемые ПИД-регуляторы (пропорцио-
нальный – интегрирующий – дифференцирующий) (рис. 7.40).
ПИД
v
ОУ
( )
y t
( )
e t
( )
u t
Рис. 7.40. Функциональная схема системы
с ПИД-регулятором
Непрерывная реализация ПИД-регулятора (7.41) описывается урав-
нением
0
д
и
1
( )
( )
( )
( )
.
t
de t
u t
K e t
e t dt
T
T
dt
(7.87)