Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19991
Скачиваний: 136
7.7. Реализация типовых ПИД-регуляторов
291
И
1
T
Д
d
T
dt
K
( )
u t
( )
e t
Рис. 7.41. Структурная реализация непрерывного
ПИД-регулятора
Пропорциональная и интегрирующая компоненты ПИД-регулятора
обеспечивают требуемые статические свойства замкнутой системы, а
дифференцирующая – позволяет увеличить запас устойчивости.
7.7.2. ЦИФРОВАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПИД-РЕГУЛЯТОРА
Для построения цифровой реализации в соответствии с выражением
(7.87) воспользуемся приближенной процедурой интегрирования по
методу прямоугольников и первой разностью для реализации процеду-
ры дифференцирования:
1
д
и
0
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
i
e kT
e kT
T
u kT
K e kT
e iT T
T
T
T
.
(7.88)
С точки зрения цифровой реализации удобнее не прямой алгоритм,
а рекуррентный, поэтому найдем управление на предыдущем шаге:
(
)
u kT
T
2
Ä
È
0
1
(
)
(
2 )
(
)
( )
k
i
e kT
T
e kT
T
K e kT
T
e iT T
T
T
T
, (7.89)
затем – разность между текущим управлением (7.88) и управлением на
предыдущем шаге (7.89) и с помощью этой разности построим рекур-
рентную процедуру вычисления управления:
0
1
2
( )
(
1)
( )
(
1)
(
2)
u k
u k
q e k
q e k
q е k
,
(7.90)
где
д
д
д
0
1
2
И
;
2
;
T
T
T
T
q
K
K
q
K
K
K
q
K
T
T
T
T
.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
292
Представим управление (7.90) в операторной форме:
1
1
2
0
1
2
1
( )
( )
z
u z
q
q z
q z
e z
.
1
z
0
q
1
q
2
q
1
z
( )
e k
( )
u k
Рис. 7.42. Структурная реализация цифрового
ПИД-регулятора
Найдем передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора (рис. 7.42):
1
2
0
1
2
ПИД
1
( )
( )
( )
1
q
q z
q z
u z
W
z
e z
z
и в окончательном виде
2
0
1
2
ПИД
2
( )
q z
q z
q
W
z
z
z
.
7.7.3. МОДИФИКАЦИИ ЦИФРОВОГО ПИД-РЕГУЛЯТОРА
Первая модификация связана с использованием более точной
процедуры интегрирования по методу трапеций в выражении (7.88):
1
д
И
1
(0)
( )
( )
( )
( )
( )
(
1)
2
k
i
T
T
e
e k
u k
K e k
e i
e k
e k
T
T
.
Для получения рекуррентной процедуры найдем управление на пре-
дыдущем шаге:
2
и
1
д
(0)
(
1)
(
1)
(
1)
( )
2
(
1)
(
2)
,
k
i
T
e
e k
u k
K e k
e i
T
T
e k
e k
T
7.7. Реализация типовых ПИД-регуляторов
293
тогда рекуррентная процедура вычисления управления, аналогичная
(7.88), примет вид
0
1
2
( )
(
1)
( )
(
1)
( )
(
1)
(
2)
u k
u k
k
u k
q e k
q e k
q e k
.
Итоговое выражение для управления не изменилось, но изменились
выражения для вычисления коэффициентов q
i
:
д
д
д
и
и
2
(0)
1
;
(1)
1
;
(2)
2
2
T
T
T
T
T
q
K
q
K
q
K
T
T
T
T
T
.
Вторая модификация, цель которой – уменьшить «рывки» в
управляющем воздействии. Исключаем для этого в дифференцирую-
щей компоненте входное задающее воздействие:
1
д
и
1
(0)
( )
( )
( )
( )
( )
(
1)
2
k
i
T
T
e
e k
u k
K e k
e i
y k
y k
T
T
,
тогда
0
1
0
1
2
( )
(
1)
( )
(
1)
( )
(
1)
(
2)
u k
u k
q e k
q e k
g y k
g y k
g y k
,
где
д
д
д
0
1
0
1
2
и
и
1
;
1
;
;
2
;
2
2
T
T
T
T
T
q
K
q
K
g
K
g
K
g
K
T
T
T
T
T
.
Третья модификация связана с реализацией дифференцирующей
компоненты ПИД-регулятора. Передаточная функция непрерывного
дифференцирующего фильтра первого порядка имеет вид
д
д
( )
1
T p
W
p
p
,
тогда передаточная функция непрерывного ПИД-регулятора:
Д
ПИД
и
1 1
( )
1
1
T p
W
p
K
T p
p
.
(7.91)
Для перехода к дискретной реализации такого ПИД-регулятора суще-
ствует две возможности.
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
294
Первая возможность – преобразование Тастина (см. подразд. 7.2.17)
Заменяем оператор дифференцирования в (7.91) на
2
1
1
z
p
T z
.
Вторая возможность – применить к выражению (7.91) Z-преобра-
зование (см. подразд. 7.2.6):
ПИД
ПИД
( )
1
( )
W
p
z
W
z
Z
z
p
.
7.7.4. О НАСТРОЙКЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРА
Для настройки ПИД-регулятора разработан метод Циглера–
Николса [41]. Этот метод применим только для устойчивого объекта,
примерная переходная характеристика которого показана на рис. 7.43.
Передаточная функция такого объекта:
O
O
τ
( )
1
p
K
W p
e
T p
.
O
T
t
O
K
( )
y t
Рис. 7.43. Примерная переходная функция
объекта управления
В приложении 3 приведены расчетные соотношения для вычисле-
ния параметров П, ПИ и ПИД-регуляторов для этого объекта.
Задачи
295
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе изучены вопросы линейной теории импульсных си-
стем управления. Приведены способы перехода от непрерывных моде-
лей объектов управления к дискретным, рассмотрены динамические
характеристики импульсных систем, вопросы анализа устойчивости и
качества процессов в таких системах.
Особое внимание уделено синтезу дискретных регуляторов, в осно-
ву которого положен модальный метод. Приведены два способа синтеза:
по выходу и по состоянию. Второй способ предполагает использование
в обратной связи оценки вектора состояния, которую можно получить
с помощью специальной динамической подсистемы, называемой наблю-
дателем. Рассмотрены два способа реализации наблюдателей: опера-
торный, в котором используется модель объекта в виде дискретной
передаточной фкункции, и матричный, в котором используется модель
объекта, представленная в виде системы разностных уравнений.
Заключительная часть главы посвящена цифровой реализации типо-
вых ПИД-регуляторов.
З А Д А Ч И
7.1. Перейти от непрерывной передаточной функции
2
1
( )
4
1
p
W p
p
p
к разностному уравнению, используя матричную процедуру перехода,
при заданной величине шага квантования по времени T = 0,1 c.
7.2. Перейти от дифференциального уравнения ( )
2 ( )
3 ( )
x t
x t
u t
к
разностному уравнению методом конечных разностей, при заданной
величине шага дискретизации по времени T = 0,5 c.
7.3. Найти дискретную передаточную функцию по заданному раз-
ностному уравнению
2 (
1)
3 ( )
5 ( )
y k
y k
u k
.
7.4. Найти дискретную передаточную функцию по заданной систе-
ме разностных уравнений