Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Г л а в а  8 

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ  

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

о  всех  предыдущих  главах  мы  изучали  свойства  систем,  про-

цессы  в  которых  с  достаточной  точностью  описываются  ли-

нейными  математическими  моделями.  Однако  такие  модели  справед-

ливы, как правило, только в определенном диапазоне изменения пере-

менных состояния и при других условиях работы могут стать сущест-

венно нелинейными. 

Ужесточение требований к качеству работы физических систем ав-

томатики приводит к применению все более сложных математических 

моделей, которые тем не менее никогда не будут полностью адекватны 

реальному объекту. Кроме того, характеристики некоторых элементов 

имеют настолько существенный нелинейный характер, что вообще не 

могут  быть  линеаризованы  (например,  реле  с  гистерезисом).  Таким 

образом, в ряде ситуаций необходимо применять описание системы с 

помощью нелинейных математических моделей. 

В этой главе мы дадим некоторые принятые определения нелиней-

ных систем, обсудим способы их описания и отметим основные отли-

чительные особенности по сравнению с линейными моделями. 

8.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 

УРАВНЕНИЯ 

Нелинейными  системами  автоматического  управления  будем 

называть  системы,  содержащие  хотя  бы  один  нелинейный  элемент. 

Различают статические нелинейные элементы, которые можно пред-

ставить  в  виде  нелинейных  статических  характеристик,  и  динамиче-

ские, процессы в которых описывают нелинейные дифференциальные 

уравнения. 

В 

Глава 8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

302 

Основной  динамической  характеристикой  нелинейных  звеньев  и 

систем является нелинейное обыкновенное дифференциальное уравне-

ние.  В  общем  случае  поведение  многоканальных  систем  описывают 

следующие уравнения состояния и выхода: 

( , , ),

,

,

( , ),

,

,

n

m

m

x

f t x u

x

R

u

R

y

g t x

y

R

n

m



 (8.1) 

где x – n-мерный вектор состояния; u – m-мерный вектор управления;  
y  –  m-мерный  вектор  выходных  переменных; 

( , , )

f t x u

  и  ( , )

g t x

  –  не-

линейные  вектор-функции.  Зависимость  этих  функций  от  t  отражает 

действие возмущений. Причем под возмущением понимают как влия-

ние окружающей среды, так и изменение параметров объекта. 

В частном случае управляющее воздействие может входить в урав-

нение состояния (8.1) в виде суммы с нелинейными коэффициентами 

( , )

( , ) ,

( , ),

x

f t x

B t x u

y

g t x



(8.2) 

где  ( , )

B t x

 – матрица нелинейных коэффициентов размера  n m . 

Систему, поведение которой описывают уравнения (8.2), будем на-

зывать  нелинейной  нестационарной  системой  с  аддитивным 

управлением. 

Если параметры системы с течением временем не меняются и воз-

мущающие воздействия пренебрежимо малы, то она называется нели-

нейной стационарной системой. Ее модель имеет вид 

( )

( ) ,

( ).

x

f x

B x u

y

g x



(8.3) 

В случае, когда отсутствует управляющее воздействие в (8.2), сис-

тема называется  нелинейной нестационарной  автономной и описы-

вается уравнениями 

( , ),

( , ).

x

f t x

y

g t x



(8.4) 

Если  правая  часть  уравнений  (8.4)  не  зависит  от  времени  t,  

то мы будем говорить о нелинейной стационарной автономной сис-

теме. 

8.2. Пространство состояний 

303 

8.2. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ 

Свойства  систем,  поведение  которых  описывают  уравнения  

(8.1)–(8.4),  можно  интерпретировать  графически  в  пространстве  раз-

мерности n. Такое пространство, координатами которого являются пе-

ременные состояния x, называется пространством состояний

*

. 

Рассмотрим,  как  представляется  в  пространстве  состояний  поведе-

ние системы (8.1) 

( , , )

x

f t x u



при условии, что 

const

u

. 

Состоянию  системы  в  произвольный 

момент  времени  соответствует  конкрет-

ная  точка  пространства  состояний  x(t), 

которая называется изображающей точ-

кой  системы  (рис.  8.1).  С  изменением 

времени  эта  точка  выписывает  траекто-

рию, называемую фазовой траекторией 

системы. 

Совокупность  фазовых  траекторий, 

полученных при движении из различных начальных условий, называ-

ют фазовым портретом системы. Он позволяет оценить свойства не-

линейной системы. 

В  каждый  момент  времени  изобра-

жающая точка системы x(t) имеет опреде-
ленную  скорость  ( )

x t



,  которую  также 

можно изобразить в пространстве состоя-
ний в виде вектора скорости, имеющего 
определенное направление. Совокупность 
векторов  скорости  будем  называть  век-
торным полем системы (рис. 8.2). 

Точки  пространства  состояний,  в  ко-

торых вектор скорости равен нулю 

0

x

, 

(8.5) 

представляют собой точки равновесия системы. 

* Отметим, что в пространстве состояний можно также исследовать свой-

ства линейных систем, рассмотренных в предыдущих разделах. 

n

x

1

x

( )

i

x t



n

x

1

x

( )

i

x t

x

n

x

1

( )

x t



Рис. 8.2. Пример векторного 

поля системы 

n

x

1

x

( )

i

x t

1

(0)

x

2

(0)

x

(0)

j

x

n

x

1

x

( )

i

x t

1

(0)

x

2

(0)

x

(0)

j

x

x

n

x

1

(0) x

2

(0) 

x

1

x(t) 

x

j

(0) 

Рис. 8.1. Пример фазового  

портрета системы

Глава 8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

304 

8.3. КОМБИНИРОВАННОЕ ОПИСАНИЕ 

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

При  составлении  математической  модели  процессов  в  системе 

управления  предварительно  получают  описание  отдельных  элементов 

в  виде  соответствующих  уравнений,  причем  по  возможности  их  ста-

раются  линеаризовать.  Звенья, 

уравнения которых допускают ли-

неаризацию,  образуют  линейную 

часть системы, а устройства, пове-

дение  которых  описывают  нели-

нейные  уравнения,  составляют  ее 

нелинейную  часть.  В  результате 

получают  систему  с  комбиниро-

ванным описанием (рис. 8.3). Здесь НЭ – нелинейная часть системы, 

которая  представляет  собой  совокупность  всех  нелинейных  звеньев. 

Часто в комбинированной системе в качестве НЭ рассматривается ста-

тическая  нелинейность,  где  зависимость  между  входной  и  выходной 

величинами описывается соотношением 

( )

u

f

. 

(8.6) 

Примеры  типовых  статических  нелинейных  звеньев  приведены  на 

рис. 8.4. 

а

в

б

г

в

а

в

б

г

а 

б 

в 

г 

Рис. 8.4. Статические характеристики нелинейных звеньев: 

а – идеальное реле; б – усилитель с ограничением; в – реле с зоной нечувствитель- 

ности; г – реле с гистерезисом 

Линейная часть системы может иметь структуру любой сложности 

и описывается передаточной функцией W

л

(p). 

( )

W p

u

v

y

( )

W p

л

НЭ

W

л

(p) 

Рис. 8.3. Структурная схема комби-

нированной системы 

8.4. Особенности процессов в нелинейных системах 

305 

8.4. ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ  

В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

Рассмотрим  наиболее  характерные  особенности  процессов  в  нели-

нейных системах. 

•  В  нелинейных  системах  вид  и  качество  переходного  процесса 

существенно  зависят  от величины  входного  воздействия  и  начальных 

условий.  Так,  увеличение  входного  воздействия  (рис.  8.5)  приводит к 

качественному  изменению  переходного  процесса:  из  устойчивого  он 

становится неустойчивым. 

1

( )

y t

2

( )

y t

y

t

1

( )

y t

2

( )

y t

Рис.  8.5.  Пример  реакции  нелинейной  
системы  на  изменение  входного  воз- 
                   действия 

2

1

(

)

u

u

Изменение  начальных  условий  также  может  приводить  к  сущест-

венному  различию  в  переходных  процессах,  например,  к  возникно-

вению колебаний (рис. 8.6). 

1

(0)

y

2

(0)

y

y

t

1

(0)

y

2

(0)

y

Рис. 8.6.   Пример   реакции   нелинейной  

системы на изменение начальных условий 

t