Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19917
Скачиваний: 135
Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
36
Собственными передаточными функциями i-го канала называ-
ются компоненты передаточной матрицы
( )
i i
i
i
W
p
y u
, которые на-
ходятся на главной диагонали (2.25). Составляющие, расположенные
выше или ниже главной диагонали (2.25), называются передаточными
функциями перекрестных связей между каналами.
Как известно, обратная матрица
1
(
)
pI
A
может быть найдена по
выражению
1
(
)
(
)
,
det(
)
pI
A
pI
A
pI
A
(2.26)
где (
)
pI
A – присоединенная матрица. Как следует из (2.26), все
скалярные передаточные функции в (2.25) содержат одинаковый зна-
менатель
1
1
( )
det(
)
n
n
n
A p
pI
A
p
a p
a
,
который называется характеристическим полиномом и имеет n-й по-
рядок.
Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то по-
лучим характеристическое уравнение системы
( )
det(
)
0.
A p
pI
A
(2.27)
Уравнение (2.27) имеет n корней, которые называются полюсами
системы
1
,...,
n
p
p
.
ПРИМЕР 2.6
Определить передаточную матрицу для объекта
,
,
x
Ax
Bu
y
Cx
2
2
2
,
,
,
x
R
u
R
y
R
где
0
1
2 0
1
1
,
,
1 2
0 1
0
2
A
B
C
.
2.6. Передаточная функция
37
Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.24) и найдем
предварительно обратную матрицу (2.26). Здесь
1
.
1
(
2)
p
pI
A
p
Присоединенная матрица имеет вид
1
(
)
,
1
2
p
pI
A
p
а характеристический полином –
2
det(
)
2
1
pI
A
p
p
.
Определим теперь обратную матрицу
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
(
)
1
2
2 1
2
1
p
p
p
p
p
pI
A
p
p
p
p
p
,
и передаточную матрицу объекта в виде
2
2
1
2
2
2(
1)
1
2
1
2
1
( )
(
)
.
4
2(
2)
2
1
2
1
p
p
p
p
p
p
W p
C pI
A
B
p
p
p
p
p
Как видим, все скалярные передаточные функции из этой матрицы
имеют одинаковый знаменатель, который представляет собой характери-
стический полином объекта.
Чаще всего передаточные функции применяются для описания од-
ноканальных систем вида (2.5)
( )
(
1)
( )
1
0
,
n
n
m
n
m
y
a y
a y
b u
b u
n
m
.
(2.28)
С использованием оператора дифференцирования p запишем урав-
нение (2.28) в символической форме и найдем передаточную функцию
как отношение изображений выходной величины ко входной:
Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
38
1
0
1
2
1
( )
m
m
n
n
n
b p
b p
b
y
W p
u
p
a p
a p
a
,
(2.29)
где
1
2
1
( )
n
n
n
A p
p
a p
a p
a
– характеристический полином.
Его корни,
1
2
,
,
,
,
n
p p
p
называются полюсами, а корни поли-
нома числителя передаточной функции,
1
2
,
,
,
m
N
n n
n
, называют-
ся нулями системы.
Передаточные функции динамических систем принято записывать в
следующей стандартной форме:
1
1
1
( )
1
m
m
n
n
d p
d p
W p
k
c p
c p
,
(2.30)
где
0
1
k
b a – коэффициент усиления;
1
1
,
1, (
1);
j
j
c
a
a
j
n
1
0
1
,
,
1,
n
i
i
c
a
d
b b
i
m
.
Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также оп-
ределить с помощью изображений Лапласа или Карсона–Хевисайда.
Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части диффе-
ренциального уравнения и найти соотношения между входными и вы-
ходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту
же самую передаточную матрицу (2.24) или функцию (2.29).
Все динамические характеристики объекта взаимосвязаны: получив
одну из них, можно определить все остальные. Мы рассмотрели пере-
ход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям с по-
мощью оператора дифференцирования p. Используя этот оператор,
несложно сделать и обратный переход от передаточной функции к
символической форме записи дифференциального уравнения, а затем к
стандартному описанию объекта в форме (2.3) или (2.5).
Обсудим теперь взаимосвязь между переходными характеристика-
ми и передаточной функцией. С этой целью запишем выражение для
выходной переменной объекта через импульсную переходную функ-
цию в соответствии с (2.8)
0
( )
(
) ( )
.
t
y t
g t
u
d
2.6. Передаточная функция
39
Подвергнем его преобразованию Лапласа [2, 9, 12]:
0
[ ( )]
(
) ( )
t
L y t
L
g t
u
d
и получим соотношение ( )
( ) ( )
y s
g s u s , из которого определим ( )
g s в
виде
( )
( )
( ).
( )
y s
g s
W s
u s
(2.31)
Таким образом, передаточная функция представляет собой преобра-
зование по Лапласу импульсной переходной функции.
ПРИМЕР 2.7
Определить передаточную функцию, нули и полюса для объекта, мо-
дель которого задана уравнением
6
5
2
12
y
y
y
u
u
.
Запишем исходное уравнение объекта в операторной форме с помощью
оператора дифференцирования p
2
(
6
5)
(2
12)
p
p
y
p
u .
Определим теперь передаточную функцию
2
2
12
( )
.
6
5
y
p
W p
u
p
p
Характеристическое уравнение объекта имеет вид
2
( )
6
5
0.
A p
p
p
Передаточная функция содержит два полюса (
1
5
p
,
2
1
p
) и один
нуль
1
6 .
n
ПРИМЕР 2.8
Определить передаточную функцию двигателя постоянного тока с не-
зависимым возбуждением (см. рис. 2.2).
Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
40
Дифференциальное уравнение двигателя получено в примере 2.4 и
имеет вид
я м
м
м
я
(
1)
.
T T y T y
y
ku
k
T p
M
Будем полагать, что возмущающее воздействие отсутствует, т. е.
0
M
. Запишем это уравнение в символической форме с помощью опера-
тора дифференцирования p
2
я м
м
T T p y T py
y
ku
или, рассматривая его как алгебраическое:
2
я м
м
1
T T p
T p
y
ku .
Определим теперь передаточную функцию двигателя постоянного тока
с независимым возбуждением
2
я м
м
( )
1
k
W p
T T p
T p
.
Как видим, она не содержит нулей и имеет два полюса, которые в зависи-
мости от численных значений параметров
я
T и
м
T могут быть веществен-
ными или комплексно-сопряженными.
2.7. МОДАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Модальные характеристики соответствуют свободной составляю-
щей движения системы (2.1) или, другими словами, отражают свойства
автономной системы (2.10)
,
n
x
Ax
x
R
.
(2.32)
Будем искать ее решение в виде экспоненты
( )
,
t
x t
e
(2.33)
где
t
e
– скалярная экспонента,
(0)
x
– вектор начальных условий.
Подставляя решение (2.33) в исходное уравнение (2.32), после пре-
образований получим
[
]
0.
I
A
(2.34)