Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

9.2. Исследование устойчивости по линейному приближению 

311 

1

1

1

0

1

0

n

T

x

n

n

n

x

f

f

x

x

f

A

x

f

f

x

x











. 

 (9.11) 

С учетом (9.11) окончательно уравнение первого приближения сис-

темы (9.10) принимает вид 

x

Ax



, 

(9.12) 

т. е. соответствует описанию линейной автономной системы. 

Согласно  теореме,  доказанной  А.М.  Ляпуновым,  устойчивость  ис-

ходной  системы  (9.7)  связана  с  устойчивостью  линеаризованной  сис-
темы (9.12). 

Теорема.  Если  линеаризованная  система  устойчива,  то  исходная 

нелинейная  система  будет  асимптотически  устойчивой  «в  малом» 
относительно исследуемого состояния равновесия.  

Доказательство приводится, например, в [27–30]. 
При  неустойчивой  линеаризованной  системе  процессы  в  исходной 

нелинейной системе будут также неустойчивыми. 

Если линеаризованная система находится на границе устойчивости 

(корни нулевые или мнимые), то об устойчивости нелинейной системы 
ничего  нельзя  сказать.  Это  критический  случай,  и  нужны  дополни-
тельные исследования для окончательного суждения об устойчивости 
нелинейной  системы  (9.7),  которую  определяют  члены  высшего  по-
рядка ряда разложения  ( )

R x . 

ПРИМЕР  9.1 

По  линейному  приближению  оценить  устойчивость  относительно 

одного из положений равновесия системы, математическая модель кото-

рой имеет вид 

2

1

1

2

2

1 2

2

2

,

2 ,

0.

x

x

x

x

x x

x

u

u




Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

312 

Запишем уравнения равновесия системы  

2

1

2

1 2

2

0

2

,

0

,

x

x

x x

x

откуда определим одну из точек равновесия: 

0

0

1

2

0,

0

x

x

. В ее ма-

лой окрестности линеаризуем исходную систему 

1

1

1

1

2

1

1

2

0

0

0

1

2

2

2

2

1

2

2

1

1

2

0

0

0

0

1

2

2

2

,

(

1)

,

f

f

x

x

x

x

x

x

x

x

f

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





которая принимает вид 

1

2

2

1

2

,

.

x

x

x

x




Матрица линеаризованной системы следующая: 

0

2

.

1

0

A

Запишем для нее характеристическое уравнение 

2

2

det(

)

det

2

1

p

pI

A

p

p

. 

Как  видим,  линеаризованная  система  неустойчива,  следовательно, 

исходная система также неустойчива. 

9.3. ВТОРОЙ  МЕТОД  ЛЯПУНОВА 

9.3.1. ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ  

Одним  из  наиболее  эффективных  способов  исследования  устойчи-

вости  является  второй  метод  Ляпунова  (часто  его  называют  также 

прямым  методом  Ляпунова),  который  не  требует  решения  дифферен-

циального уравнения. 

9.3. Второй метод Ляпунова 

313 

Метод основан на идее замены анализа решений нелинейных урав-

нений  произвольного  порядка  на  оценку  свойств  этих  решений  с  по-

мощью скалярного дифференциального неравенства. При этом теряет-

ся  информация  о  виде  решений,  но  приобретается  простота  анализа 

устойчивости,  поскольку  исследуется  изменение  «расстояния»  в  про-

странстве состояний от текущей точки системы до начала координат. В 

качестве  такой  оценки  расстояния  можно  использовать  скалярную 

функцию переменных состояния, которую обозначим через V(x).  

Понятно,  что  в  случае  устойчивого  состояния  равновесия  фазовые 

траектории системы  

( ),

,

(0)

0

n

x

f x

x

R

f



 (9.13) 

с  течением  времени  «стягиваются»  к  началу  координат  (рис.  9.2,  а), 

при  этом  уменьшается  расстояние  от  текущей  точки  до  точки  равно-

весия. 

Относительно неустойчивого состояния равновесия фазовые траек-

тории системы (9.13) расходятся (рис. 9.2, б), а расстояние увеличива-

ется с течением времени. 

n

x

1

x

(0)

x

V

n

x

1

x

(0)

x

V

x(0) 

x

n

x

1

n

x

1

x

(0)

x

V

n

x

1

x

(0)

x

V

x

n

x(0) 

x

1

V 

а 

б 

Рис. 9.2. Изменение функции V в случае  устойчивой (а) и неустойчивой (б) 

систем

 
Таким  образом,  суть  второго  метода  Ляпунова  сводится  к  оценке 

изменения  некоторой  функции  координат  состояния  системы  V(x) 
вдоль  траекторий  движения,  которую  для  простоты  называют  функ-
цией  Ляпунова.  Обсудим  формальные  свойства  функций  V(x),  ис-
пользуемые в дальнейшем. 

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

314 

Рассмотрим функции V(x), определенные и непрерывные в некото-

рой области пространства состояний D, содержащей начало координат, 

и обладающие в этой области непрерывными частными производными 

по переменным x. 

Функция  V(x)  называется  положительно-определенной  в  области 

D,  если  она  положительна  для  любых  значений  переменных  из  этой 

области  и  обращается  в нуль  только  в  начале координат,  т. е.  выпол-

няются свойства 

( )

0

,

(0)

0.

V x

x

D

V

(9.14) 

Функция переменных состояния называется отрицательно опреде-

ленной в области D, если она отрицательна для любых значений пере-

менных из этой области и обращается в нуль только в начале коорди-

нат. 

Полной производной функции Ляпунова в силу системы (произ-

водной функции Ляпунова вдоль траекторий движения системы (9.13)) 
называется функция  ( )

V x



, которая определяется следующим образом: 

( )=

( )

T

T

V  

 V  

V x

x =

f x

 x

 x





. 

 (9.15) 

Здесь 

1

T

n

 V  

 V  

 V  

=

,...,

x

 x

 x

 – вектор-строка частных производных. 

Полная  производная  функции  Ляпунова  представляет  собой  ска-

лярное  произведение  вектор-строки 

T

V

x   и  вектор-столбца  f(x)  и 

может быть представлена в развернутой форме: 

1

1

( )

( )

( )

n

n

 V  

 V  

V x

f x

f

x

 x

 x





. 

Следует  отметить,  что  полная  производная  функции  Ляпунова 

( )

V x



,  так  же  как  и  сама  функция  Ляпунова  V(x),  тождественно  обра-

щается в нуль в начале координат, поскольку  (0) 0

f

. 

9.3. Второй метод Ляпунова 

315 

9.3.2. ТЕОРЕМЫ  ВТОРОГО  МЕТОДА  ЛЯПУНОВА 

Рассмотрим  теоремы  Ляпунова  об  устойчивости  и  неустойчивости 

состояния равновесия автономной системы. 

Теорема об асимптотической устойчивости [1, 11–13]. Состояние 

равновесия системы является асимптотически устойчивым, если для 

положительно  определенной  функции  Ляпунова  V(x)  ее  полная  произ-

водная в силу системы (9.13) есть отрицательно-определенная функ-

ция, т. е. при выполнении формальных соотношений 

( )

0

0

( )

0,

( )

0

0,

( )

0.

V x >       x

,    V 0 =  

V x

       x

    V 0 =





 (9.16) 

Теорема об экспоненциальной устойчивости [1]. Состояние рав-

новесия системы (9.13) будет экспоненциально устойчивым, если для 

положительно  определенной  функции  Ляпунова  V(x)  ее  полная  произ-

водная  в  силу  системы  есть  отрицательно  определенная  функция  и 

обе  эти  функции    удовлетворяют  следующим  квадратичным  ограни-

чениям: 

2

2

1

2

2

3

( )

( )

c x

V x

c x

,

V x

c x

,  



(9.17) 

где 

const

0,

1,3

i

c

i

. 

Теорема о неустойчивости [1, 11–13]. Состояние равновесия сис-

темы (9.13) является неустойчивым, если для положительно опреде-

ленной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу исследуе-

мой  системы  представляет  собой  также  положительно  опреде-

ленную функцию. 

Поскольку от функции V(x) требуется только знакоопределенность, 

для одной и той же системы (9.13) можно выбирать различные функ-

ции Ляпунова, которые могут привести к «широким» или «узким» об-

ластям устойчивости. 

Приведенные  теоремы  дают  только  достаточные,  но  не  необходи-

мые условия устойчивости и неустойчивости и не указывают способы 

нахождения подходящих функций V(x), в чем и заключается основная 

сложность применения второго метода Ляпунова.