Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

306 

•  Важная  особенность  нелинейных  сис-

тем  состоит  в  том,  что  к  ним  неприменим 

принцип  суперпозиции.  Реакцию  нелиней-

ной  системы  автоматического  управления 

на  несколько  произвольных  внешних  воз-

действий  нельзя  рассматривать  как  сумму 

составляющих  на  каждое  воздействие  от-

дельно,  поскольку  эта  реакция  зависит  от 

величины  входного  воздействия  и  началь-

ных условий. 

•  Характерной  особенностью  нелиней-

ных  систем  является  возможность  возник-

новения  в  них  автоколебаний,  т.  е.  таких 

собственных периодических процессов, параметры которых (частота и 

фаза) не зависят от начальных условий. 

•  В нелинейной системе может быть несколько состояний равнове-

сия, к которым в зависимости от величины начальных условий и вход-

ных воздействий стремятся переходные процессы. 

На  рис.  8.7  показано,  что  из  начального  состояния  x

3

(0)  движение 

осуществляется к точке равновесия x = 0, а из состояния x

1

(0) изобра-

жающая  точка  системы  движется  по  замкнутой  траектории,  которая 

называется  предельным  циклом.  Эта  фазовая  траектория  соответст-

вует равновесному режиму работы системы. Отметим также, что нали-

чие  предельного  цикла  в  пространстве  состояний  означает  возмож-

ность возникновения в системе автоколебаний. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

В  этой  главе  мы  рассмотрели  динамические  характеристики, кото-

рые  применяются  для  описания  нелинейных  систем.  Их  и  будем  ис-

пользовать при дальнейшем изложении вопросов анализа и синтеза. 

Так как в нелинейных системах не выполняется принцип суперпо-

зиции  (для  отдельных  значений  входа  или  состояния  он  может  и  вы-

полняться),  особое  развитие  получили  методы  представления  процес-

сов в пространстве состояний, которыми мы и будем пользоваться для 

иллюстрации различных свойств таких систем. 

n

x

1

x

1

(0)

x

2

(0)

x

3

(0)

x

n

x

1

x

1

(0)

x

2

(0)

x

3

(0)

x

x

n

x

2

(0) 

x

1

x

1

(0)

x

3

(0) 

x

1

(0) 

Рис. 8.7. Пример состоя-

ний равновесия нелиней-

ной системы 

Г л а в а  9 

УСТОЙЧИВОСТЬ  

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

этой главе мы рассмотрим основные методы исследования ус-
тойчивости нелинейных систем, которые существенно отлича-

ются  от  способов  анализа  линейных  систем.  В  первую  очередь,  это 
связано с тем, что свойство устойчивости нелинейной системы зависит 
от  начальных  условий  и  внешних  воздействий:  при  одних  входных 
сигналах система будет устойчивой, а при других она станет неустой-
чивой.  Следовательно,  для  их  анализа  нельзя  применять  разработан-
ные в линейной теории критерии устойчивости. 

Устойчивость  нелинейной  системы  автоматического  управления 

означает,  что  малые  изменения  возмущений  или  начальных  условий 
не выведут выходную переменную за пределы достаточно малой ок-
рестности  точки  равновесия  или  предельного  цикла.  Поскольку  для 
нелинейной  системы  могут  существовать  несколько  положений  рав-
новесия, анализировать устойчивость следует в окрестности каждого 
из них. 

Проблема  устойчивости  нелинейных  систем  имеет  сравнительно 

давнюю и очень интересную историю развития. Следует отметить, что 
основная тематика исследований формировалась вокруг идей русского 
ученого  А.М.  Ляпунова  [28],  которые  в  дальнейшем  были  развиты  в 
работах  [4,  7,  16,  27–30].  Однако  эти  способы  анализа  устойчивости 
нелинейных систем дают, как правило, достаточные условия, поэтому 
для  них  трудно  ввести  понятие  запаса  устойчивости,  применяемое  в 
линейном случае и очень важное для проектирования систем. 

В 

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

308 

9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

Поскольку поведение нелинейной системы существенно зависит от 

величины внешних воздействий, их численные значения всегда огова-

риваются  при  анализе  ее  свойств.  Исследуем  понятие  устойчивости 

для автономной стационарной системы, уравнение состояния которой 

имеет вид  

( ),

n

z

z

z

R



. 

 (9.1) 

Обычно  нас  интересует  устойчивость  относительно  равновесного 

режима 

0

z .  Задачу  анализа  можно  свести  к  проверке  устойчивости 

системы  относительно  начала  координат  в  пространстве  новых  пере-

менных.  С  этой  целью  введем  вектор  переменных  x,  в  качестве  кото-

рых выберем отклонение от состояния равновесия 

0

x

z

z . 

(9.2) 

Дифференцируя  (9.2)  по  времени,  получим  уравнения  состояния  для 

новых переменных 

0

0

(

)

x

z

z

x

z



 

, 

которые запишем в виде 

( )

x

f x



. 

 (9.3) 

В пространстве состояний x согласно (9.2) и (9.3) точка равновесия 

совпадает с началом координат, т. е. 

(0)

0

f

. 

(9.4) 

Рассмотрим теперь условия устойчивости автономной системы (9.3) 

относительно точки 

0

x

. 

Положение  равновесия  системы  называется  асимптотически  ус-

тойчивым,  если  при  движении  из  начальных  условий  имеет  место 

свойство 

lim

( )

0

(0)

n

t

x t

x

R

. 

(9.5) 

9.1. Основные понятия и определения 

309 

Условие (9.5) означает, что с течением времени фазовые траектории 

системы «стягиваются» к началу координат (рис. 9.1). При неустойчи-
вом движении фазовая траектория удаляется от точки равновесия или 
вырождается в предельный цикл. 

В  зависимости  от  значений  (0)

x

, 

для  которых  выполняется  условие 
(9.5),  различают  устойчивость  «в  ма-
лом» и «в большом». 

Состояние  равновесия  системы  на-

зывается  асимптотически  устойчи-
вым  «в  малом»,  если  существует, 
пусть  как  угодно  малая,  окрестность 
положения равновесия, где это свойст-
во имеет место.  

Состояние  равновесия  системы  на-

зывается  асимптотически  устойчи-
вым «в большом», если условие (9.5) 
выполняется  для  любых  начальных  условий  из  рабочей  области  про-
странства состояний. 

Состояние  равновесия  системы  называется  экспоненциально  

устойчивым,  если  оно  устойчиво  асимптотически  и  выполняется  ус-
ловие 

( )

(0)

t

x t

c x

e

, 

(9.6) 

где 

const

0,

const

0

c

. 

В зависимости от начальных условий можно также выделить экспо-

ненциальную устойчивость «в малом» и «в большом». 

Отметим, что для систем автоматики важно наличие именно экспо-

ненциальной устойчивости, которая гарантирует, кроме сходимости, и 
скорость переходных процессов (с показателем α). Свойства асимпто-
тической устойчивости недостаточно для работы реальных систем. 

n

x

1

x

n

x

1

x

x

n

x

1

Рис. 9.1. Иллюстрация асимпто-

тически устойчивого состояния  

равновесия 

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

310 

9.2. ИССЛЕДОВАНИЕ  УСТОЙЧИВОСТИ   

ПО  ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 

В некоторых случаях устойчивость состояния равновесия нелиней-

ной системы можно исследовать по уравнениям первого приближения, 

полученным в результате линеаризации уравнений состояния в малой 

окрестности точки равновесия. Такой способ был предложен А.М. Ля-

пуновым.  

Рассмотрим этот подход для нелинейной автономной стационарной 

системы 

( ),

,

(0)

0.

n

x

f x

x

R

f



(9.7) 

Разложим f(x) в ряд Тейлора в малой окрестности состояния равно-

весия: 

0

( )

T

x

f

x

x

R x

x



, 

(9.8) 

где R(x) – члены ряда разложения выше первой степени; матрица част-
ных производных 

T

f

x  имеет вид 

1

1

1

1

n

T

n

n

n

f

f

x

x

f

x

f

f

x

x











. 

(9.9) 

Отбрасывая члены ряда разложения  ( )

R x

, вместо (9.8) получим 

0

T

x

f

x

x

x



. 

(9.10) 

Матрица  частных  производных  (9.9)  рассматривается  в  точке  рав-

новесия, поэтому представляет собой числовую матрицу коэффициен-

тов, для которой введем обозначение