Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19978
Скачиваний: 136
Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
316
Таким образом, если не выполняются условия ни одной из приве-
денных теорем, то об устойчивости системы (9.13) ничего сказать
нельзя. Нужно пытаться подобрать другую, более подходящую, функ-
цию Ляпунова.
ПРИМЕР 9.2
С помощью второго метода Ляпунова оценить устойчивость систе-
мы, поведение которой описывают следующие уравнения:
1
2
2
1
2
,
5
.
x
x
x
x
x
u
Полагаем u = 0 и рассмотрим автономную систему
1
2
2
1
2
,
5
.
x
x
x
x
x
Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функ-
цию:
2
2
1
2
( )
0
0,
(0)
0.
V x
x
x
x
V
Определим теперь полную производную функции Ляпунова вдоль
траектории движения автономной системы
2
2
1 1
2 2
1 2
1 2
2
2
( )
2
2
2
2
10
10
V x
x x
x x
x x
x x
x
x
.
Полная производная функции Ляпунова не является отрицательно-
определенной функцией, поскольку обращается в нуль не только в начале
координат пространства состояний, но и на всей оси
1
x
. Это означает,
что не выполняются условия ни одной из приведенных теорем. Следова-
тельно, об устойчивости положения равновесия системы сказать ничего
нельзя, функция Ляпунова выбрана неудачно.
Попробуем оценить устойчивость системы с помощью новой функ-
ции
2
2
1
1 2
2
( )
2
0
0,
(0)
0,
V x
x
x x
x
x
V
для которой определим полную производную
1
2
1
1
2
2
( )
2(
)
2(
)
V x
x
x x
x
x x
.
9.3. Второй метод Ляпунова
317
В это выражение вместо производных переменных состояния подставим
правые части уравнений автономной системы:
2
2
1
1 2
2
( )
2
10
8
V x
x
x x
x
.
Как видим, полная производная новой функции Ляпунова есть отрица-
тельно определенная функция. Следовательно, исходная система являет-
ся асимптотически устойчивой.
9.3.3. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
Второй метод Ляпунова можно применять для анализа устойчиво-
сти линейных систем, причем в этом случае он дает необходимое и
достаточное условие устойчивости.
Рассмотрим линейную автономную систему, поведение которой
описывают уравнения состояния (9.12):
x
Ax
.
Выберем для нее в качестве функции Ляпунова квадратичную форму
вида
( )
T
V x
x Bx ,
(9.18)
где B – матрица размера n n . Определим полную производную функ-
ции Ляпунова вдоль траекторий движения системы
( )
T
T
V x
x Bx
x Bx
или
( )
(
)
T
T
V x
Ax
Bx
x BAx
.
После преобразований получим в нужной форме
( )
(
)
T
T
V x
x
A B
BA x
.
(9.19)
Как видим, полная производная функции Ляпунова (9.19) также имеет
квадратичную форму, матрицу которой обозначим буквой C.
Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
318
Теорема. Для того чтобы линейная система была устойчивой, не-
обходимо и достаточно, чтобы решение уравнения
T
C
A B
BA
(9.20)
порождало положительно определенную матрицу В при любой отри-
цательно определенной матрице C.
Доказательство теоремы приведено, например, в [4]. Уравнение
(9.20) называют матричным уравнением Ляпунова.
В линейной алгебре для оценки знака квадратичной формы приме-
няется критерий Сильвестра: матрица
11
1
1
n
n
nn
b
b
B
b
b
будет положительно определенной, когда все ее главные диагональные
миноры положительны (
0,
1,
i
i
n
). Здесь
11
12
1
11
2
21
22
,
det
,
,
det .
n
b
b
b
B
b
b
Если все нечетные миноры отрицательные, а четные положитель-
ные (
1
2
3
0,
0,
0, ), то матрица В будет отрицательно
определенной.
На основе теоремы Ляпунова можно предложить следующую про-
цедуру проверки устойчивости линейных систем.
1. Задается отрицательно определенная матрица C, причем в каче-
стве C удобно выбирать отрицательную единичную диагональную
матрицу
1 0
0
0
0
1
C
I
.
9.3. Второй метод Ляпунова
319
2. Записывается матрица B в виде
11
1
1
n
n
nn
b
b
B
b
b
.
3. Формируется матричное уравнение Ляпунова (9.20), которое
принимает форму
.
T
A B
BA
I
4. Приравниваются соответствующие элементы матриц из левой и
правой частей уравнения Ляпунова. Формируется система линейных
алгебраических уравнений, вычисляются неизвестные коэффициенты
,
ij
b
1, ;
1,
i
n
j
n .
5. Определяется знак матрицы B, что позволяет в соответствии с
теоремами Ляпунова сделать вывод об устойчивости системы.
ПРИМЕР 9.3
Определить устойчивость замкнутой системы вторым методом Ляпу-
нова, если известна ее модель в виде передаточной функции
2
2
( )
5
4
1
y
W p
u
p
p
.
Запишем соответствующее ей дифференциальное уравнение
5
4
2
y
y
y
u
,
которое представим в переменных состояния:
1
2
2
1
2
1
,
0, 2
0,8
0, 4 ,
.
x
x
x
x
x
u
y
x
Матрица A для системы имеет вид
0
1
0, 2 0,8
A
.
Выберем в качестве матрицы C отрицательную единичную диагональ-
ную матрицу и запишем матричное уравнение Ляпунова
Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
320
11
12
11
12
21
22
21
22
0
0, 2
0
1
1
0
1
0,8
0, 2 0,8
0
1
b
b
b
b
b
b
b
b
,
где В – матрица функции Ляпунова, коэффициенты которой связаны соот-
ношениями
21
12
12
22
21
22
22
11
12
12
21
0, 2
0, 2
1,
0,8
0,8
1,
0, 2
0,8
0,
.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Решая эту систему уравнений, получим
2, 75
2,5
2,5
3, 75
B
.
Оценим знак матрицы В с помощью критерия Сильвестра, для чего вычис-
лим определители
1
11
2
2, 75
0,
4, 0625
0.
b
B
Таким образом, матрица B является отрицательно определенной, а ис-
ходная система будет неустойчива.
9.3.4. ПРОВЕРКА УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Для нелинейных систем отдельного класса можно предложить дос-
таточно простой способ проверки устойчивости с помощью второго
метода Ляпунова.
Рассмотрим автономные системы (9.13)
( ),
,
(0)
0
n
x
f x
x
R
f
(9.21)
с однозначными нелинейными элементами вектор-функции
( )
f x
.
Введем новую переменную
n
z
R в виде
( )
z
f x .