Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

9.3. Второй метод Ляпунова 

321 

Дифференцируя

ее  по  времени 

T

z

f

x

x



,

с  учетом  (9.21)  по-

лучим уравнение 

T

f

z

z

x



. 

(9.22) 

Обозначим здесь матрицу частных производных 

1

1

1

1

( )

n

T

n

n

n

f

f

x

x

f

A x

x

f

f

x

x











и  запишем  дифференциальное  уравнение  состояния  (9.22)  в  следую-
щей форме: 

( )

z

A x z



. 

(9.23) 

Как видим, (9.23) представляет собой квазилинейное уравнение для 

переменной  z .  Для  анализа  устойчивости  такой  системы  используем 

функцию Ляпунова в виде квадратичной формы (9.18) 

( )

T

V z

z Bz  

с единичной диагональной матрицей,  B I , т. е. 

( )

T

V z

z z . 

(9.24) 

Определим  полную  производную  функции  Ляпунова  (9.24)  по  
времени 

( )

T

T

V z

z z

z z



 

в силу системы (9.23) 

( )

( )

( )

T

T

T

V z

z A x z

z A

x z



. 

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

322 

После несложных преобразований получим окончательно 

( )

( )

( )

T

T

V z

z

A x

A

x

z



. 

 (9.25) 

Согласно  теореме  Ляпунова  исходная  система  будет  асимптотиче-

ски  устойчива,  если  производная  (9.25)  будет  отрицательно  опреде-

ленной  функцией.  Поскольку  полная  производная  функции  Ляпунова 

имеет квадратичную форму, ее знак определяется знаком матрицы  

( )

( )

T

A x

A

x

, 

 (9.26) 

который  и  следует  проверить  для  анализа  устойчивости  системы 
(9.21). 

ПРИМЕР  9.4 

Проверить  устойчивость системы, поведение которой описывает урав-

нение 

3

5

x

x

x



.

Функция 

3

( )

5

f x

x

x   однозначная,  поэтому  введем  новую  пере-

менную 

3

5

z

x

x

, 

для которой запишем дифференциальное уравнение 

( )

z

A x z



, 

где 

2

( )

5 3

A x

x . 

Выбирая  в  качестве  функции  Ляпунова  квадратичную  форму  (9.24), 

получим ее полную производную в виде (9.25). Оценим знак функции 

2

( )

( )

2 ( )

10 6

T

A x

A

x

A x

x . 

Эта функция отрицательная во всем диапазоне изменения  x . Следова-

тельно, система асимптотически устойчива. 

Заканчивая обсуждение второго метода Ляпунова, отметим, что он 

дает достаточные условия устойчивости. При этом «запас» устойчиво-
сти может быть очень большим, но оценить его количественно удается 
лишь для частных классов систем. По этой причине второй метод Ля-
пунова чаще всего используется при выводе вторичных критериев ус-
тойчивости. 

9.4. Частотный способ анализа устойчивости 

323 

9.4. ЧАСТОТНЫЙ  СПОСОБ   

АНАЛИЗА  УСТОЙЧИВОСТИ 

9.4.1. ТЕОРЕМА  ПОПОВА   

ОБ  АБСОЛЮТНОЙУСТОЙЧИВОСТИ 

Для исследования устойчивости  систем со статической нелинейной 

характеристикой,  удовлетворяющей  определенным  ограничениям, 

В.М.  Поповым  был  предложен  простой  способ  [6,  30],  аналогичный 

частотным методам анализа устойчивости линейных систем.  

Этот  способ  позволяет  оценить  так  называемую  абсолютную  ус-

тойчивость, т. е. экспоненциальную устойчивость «в малом» при лю-

бой форме нелинейности из ограниченного диапазона. 

Обсудим суть метода для системы, структурная схема которой изо-

бражена на рис. 9.3 при условии, что 

0

v

. 

v

y

( )

W p

л

НЭ

u

НЭ 

v 

y 

u 

Рис. 9.3. Структурная схема ком- 

бинированной  системы

Нелинейный элемент (НЭ) представляет собой однозначную стати-

ческую  характеристику  произвольного  вида,  удовлетворяющую  огра-

ничениям 

0

( )

f

k

, 

 (9.27) 

что соответствует заштрихованным секторам на рис. 9.4. 

u

kx

( )

f

u

kx

f

Рис. 9.4. Пример ограничений  

на нелинейность 

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

324 

Все  линейные  звенья  системы  объединены  в  одно  с  передаточной 

функцией 

л

( )

( )

( )

B p

W

p

A p

,  причем  линейная  часть  должна  быть  устой-

чива, т. е.  Re  

( )

0

0

A p

. 

Приведем без доказательства формулировку теоремы [6]. Нелиней-

ная система будет абсолютно устойчива, если можно подобрать та-

кое  конечное  вещественное  число  h,  при  котором  выполняется  нера-

венство 

л

1

Re (1

ω )

( ω)

0

j  h W

j

k

, 

(9.28) 

где 

л

( ω)

( )

(ω)

W

j

= R

+ jI

  –  амплитудно-фазовая  характеристика  ли-

нейной части системы. 

9.4.2. ГРАФИЧЕСКАЯ  ИНТЕРПРЕТАЦИЯ   

УСЛОВИЙ  ТЕОРЕМЫ 

На практике вместо условия (9.28) удобно использовать его графи-

ческую интерпретацию. С этой целью подставим в неравенство значе-
ние 

л

(

)

W

j

: 

1

Re

( )

( )

( )

( )

0

R

h I

j I

h R

k

. 

В результате преобразований получим 

1

( )

( )

0

R

hI

k

. 

 (9.29) 

Введем  видоизмененную  амплитудно-фазовую  частотную  ха-

рактеристику 

*

*

*

(

)

( )

( )

W

j

R

jI

, 

(9.30) 

где 

*

( )

( )

R

R

; 

*

0

( )

( )

I

T I

, 

0

1 c

T

  –  нормирующий  множи-

тель. Это позволяет записать неравенство (9.29) в виде 

*

*

1

( )

  ( )

R

h I

k

. 

 (9.31) 

9.4. Частотный способ анализа устойчивости 

325 

Если теперь вместо (9.31) записать равенство 

*

*

1

( )

  ( )

R

h I

k

, 

 (9.32) 

то  получим  уравнение  прямой  на  комплексной  плоскости,  которая 
проходит через точку с координатами

1

,

0

k

j

. Ее наклон зависит 

от численного значения  h . 

С  учетом  (9.32)  можно  предложить  следующую  формулировку 

графической интерпретации условий теоремы В.М. Попова. Нели-
нейная система будет абсолютно устойчивой, если можно подобрать 
хотя  бы  одну  прямую,  проходящую  через  точку  комплексной  плоско-
сти с координатами 

1

,

0

k j

  так,  чтобы  видоизмененная  ампли-

тудно-фазовая  характеристика  линейной  части 

*

(

)

W

j

  находилась 

справа от этой прямой. 

На  рис.  9.5,  а  приведен  пример  расположения 

*

(

)

W

j

,  соответст-

вующего абсолютной устойчивости системы. 

Отметим,  что  в  этом  случае  нелинейная  система будет  устойчива 

при  любой  нелинейной  характеристике,  удовлетворяющей  условию 
(9.27). 

–1/k

Im 

Re

W

j

* (

)

л

Im 

Re

W

j

* (

)

л

–1/k

а 

  б 

Рис. 9.5. Пример выполнения (а) и невыполнения (б) условий абсолютной 

устойчивости