Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

326 

Если не выполняется условие (9.31), то видоизмененная амплитуд-

но-фазовая характеристика линейной части 

*

(

)

W

j

 может иметь вид, 

показанный  на  рис.  9.5,  б.  В  этом  случае  через  характерную  точку 

1

,

0

k j

  невозможно  провести  прямую,  соответствующую  графи-

ческой интерпретации теоремы. 

Таким  образом,  нелинейная  система  не  будет  абсолютно  устойчи-

вой,  однако  может  быть  асимптотически  устойчивой  при  конкретной 

нелинейной характеристике. Для проверки этого условия следует вос-

пользоваться, например, вторым методом Ляпунова. 

9.4.3. ПРОЦЕДУРА  ПРОВЕРКИ   

АБСОЛЮТНОЙ  УСТОЙЧИВОСТИ 

Процедура  проверки  абсолютной  устойчивости  включает  следую-

щие этапы. 

1.  Оценивается  диапазон  изменения  однозначной  статической  не-

линейной  характеристики  комбинированной  системы,  определяется 

значение коэффициента  k . 

2.  Проверяется устойчивость линейной части системы, записывает-

ся  выражение  для  ее  амплитудно-фазовой  характеристики 

л

(

)

W

j

( )

( )

R

jI

. 

3.  Определяется  выражение  для  видоизмененной  амплитудно-

фазовой характеристики 

*

(

)

W

j

 согласно соотношениям  

*

*

0

0

( )

( ),

( )

( ),

1 c.

R

R

I

T I

T

4.  На  комплексной  плоскости  строится  видоизмененная  амплитуд-

но-фазовая  характеристика  линейной  части  системы 

*

(

)

W

j

  и  выде-

ляется характерная точка с координатами  ( 1 ,

0)

k

j

. 

5.  Исследуется возможность построения прямой, проходящей через 

эту  точку,  правее  которой  должна  располагаться 

*

(

)

W

j

.  Делается 

вывод об абсолютной устойчивости нелинейной системы. 

9.4. Частотный способ анализа устойчивости 

327 

ПРИМЕР 9.5  

Определить, является ли система (см. рис. 9.3, б) абсолютно устойчивой, 

если  нелинейный  элемент  представляет  собой  усилитель  с  ограничением 

(рис. 9.6). Уровень ограничения C = 0,2; передаточ-

ная функция линейной части следующая: 

л

2

6

( )

(2

1)(

2

1)

W

p

p

p

p

. 

Как  видим,  нелинейная  характеристика  одно-

значная и удовлетворяет условию (9.27). Ее можно 
ограничить прямой  k , где 

0, 2

k

. 

В  соответствии  с  процедурой  проверки  устой-

чивости  запишем  характеристическое  уравнение 

линейной части системы 

2

3

2

( )

(2

1)(

2

1)

2

5

4

1

0

A p

p

p

p

p

p

p

. 

Очевидно, что сомножители  А(р) имеют корни с  отрицательной веще-

ственной частью, поэтому  определим выражение  для  ее частотной  харак-

теристики: 

2

2

л

2

2

2

2 2

6( 5

1)

6 (4 2

)

(

)

( 5

1)

(4 2

)

j

W

j

. 

Запишем  теперь  выражение для  вещественной  и мнимой частей видо-

измененной частотной характеристики: 

2

*

л

2

2

2

2 2

2

2

*

л

2

2

2

2 2

6( 5

1)

( )

Re

(

)

,

( 5

1)

(4 2

)

6

(4 2

)

( )

Im

(

)

.

( 5

1)

(4 2

)

R

W

j

I

W

j

Значения 

*

( )

R

 и 

*

( )

I

 для некоторых 

 представлены в таблице. 

0 

… 

1

5

… 

2  

… 

∞ 

*

( )

R

6 

… 

0 

… 

– 0,67 

… 

0 

*

( )

I

0 

… 

– 3,73 

… 

0 

… 

0 

1

1

C

C

u

1 

Рис. 9.6.   Статическая 

нелинейная    характе-

ристика  к примеру 9.5 

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

328 

На  рис.  9.7  приведена  видоизмененная  частотная  характеристика,  где 

отмечена точка 

( 1 ,

0) ( 5,

0)

k j

j

. Очевидно, что через эту точку можно 

провести прямую (и не одну) так, что левее нее будет располагаться харак-
теристика 

*

(

)

W

j

. 

Im

Re

0,67

–0,33

*

(

)

W

jw

л

– 0,33 

• 

–

5 

• 

Im 

*

л

(

)

W

jw

– 0,67 

Re 

Рис. 9.7. Видоизмененная частотная  

характеристика к примеру 9.5

Таким образом, система с нелинейной характеристикой (рис. 9.7) будет 

абсолютно устойчива.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

В этой главе мы рассмотрели способы анализа устойчивости нели-

нейных  систем.  Однако  ни  один  из  них  не  является  универсальным, 

что  обусловлено  как  сложностью  описания  самих  систем,  так  и  рас-

смотренными теоремами, с помощью которых можно определить лишь 

достаточные условия устойчивости. 

Исследование  нелинейной  системы  по  линейному  приближению 

позволяет  оценить  устойчивость  лишь  для  малой  окрестности  точки 

равновесия и только в случае, когда линеаризованная система не нахо-

дится на границе устойчивости. Выбор подходящей функции Ляпунова 

является своего рода искусством и зависит от вида описания системы и 

опыта  исследователя  [4].  Частотный  метод  В.М.  Попова  применим 

только для комбинированных систем с однозначной статической нели-

нейной характеристикой. 

Следует  заметить,  что  в  настоящее  время  задача  аналитической 

оценки устойчивости потеряла прежнюю актуальность, поскольку раз-

работанное программное обеспечение дает возможность с достаточной 

Задачи 

329 

точностью  вычислять  решения    дифференциальных  уравнений  (на-

пример,  с  помощью  интегрированной  среды  MATLAB).  Использова-

ние  метода  компьютерного  моделирования  посредством  программы 
SIMULINK позволяет напрямую оценить свойства системы. 

Тем не менее при проектировании нелинейных систем с заданными 

свойствами, т. е. для решения задачи синтеза, аппарат второго метода 

Ляпунова дает важные аналитические конструкции. 

З А Д А Ч И  

9.1. Определить устойчивость по линейному приближению относи-

тельно всех точек равновесия системы 

2

1

1

2

2

1

1 2

,

.

x

x

x

x

x

x x




9.2. Определить устойчивость по линейному приближению относи-

тельно всех точек равновесия системы 

2

3

0

x

xx

x

x





. 

9.3. Определить устойчивость системы по линейному приближению 

относительно одного из состояний равновесия: 

1

1

2

2

1

2

1 2

sin

,

.

x

x

x

x

x

x

x x




9.4. Определить устойчивость системы по линейному приближению 

относительно одного из состояний равновесия при 

1

u

: 

1

1 2

2

2

1

2

2

,

.

x

x x

x

x

x

x

u




9.5. Определить устойчивость по линейному приближению относи-

тельно всех точек равновесия системы при 

2

u

: 

2

1

1

2

2

1 2

2

5

,

2

.

x

x

x

x

x x

x

u




Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 

330 

9.6.  Определить  устойчивость  системы,  уравнения  состояния  кото-

рой имеют вид 

1

1

2

2

1

2

3

,

5

8

,

x

x

x

x

x

x




с помощью следующей функции Ляпунова: 

2

2

1

2

( )

V x

x

x . 

9.7.  Определить  устойчивость  системы,  уравнения  состояния  кото-

рой имеют вид 

1

1

2

2

1

2

5

2

,

7

,

x

x

x

x

x

x




с помощью следующей функции Ляпунова:  ( )

,

T

V x

x Bx  где 

3 0

0 2

B

. 

9.8.  Определить  устойчивость  замкнутой  системы  вторым  методом 

Ляпунова, если известна передаточная функция разомкнутой системы 

12

( )

(

1)(5

1)

W p

p

p

. 

9.9. С помощью функции Ляпунова 

2

2

1

1 2

2

( )

5

2

V x

x

x x

x  исследо-

вать  устойчивость  системы,  структурная  схема  которой  приведена  на 

рис. 9.8. 

u

1

p

1

p

7

5

3

2

(–)

(–)

1

(0)

x

2

(0)

x

1

x

y

2

x

7 

2 

3 

5 

Рис. 9.8. Структурная схема системы к задаче 9.9