Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

336 

Обсудим  способы  построения  фазового  портрета  системы,  матема-

тическая модель которой имеет вид 

1

1

1

2

2

2

1

2

( ,

, ),

( ,

, ).

x

f x x

u

x

f

x x

u









 (10.1) 

Управляющее  воздействие  u   входит  в  правую  часть  (10.1)  как  па-

раметр.  Отметим,  что  если  оно  изменяется,  то  векторное  поле  будет 

управляемым.  Здесь  полагаем 

const

u

  и  его  численное  значение  уч-

тем  в  соответствующих  функциях,  что  позволяет  модель  (10.1)  запи-

сать в форме 

1

1

1

2

2

2

1

2

( ,

),

( ,

).

x

f x

x

x

f

x

x




 (10.2) 

В принципе, задавая множество наборов значений 

1

x   и 

2

x ,  можно 

получить поле векторов скорости (рис. 10.1) и, двигаясь вдоль них, по-

строить фазовую траекторию системы из 

определенных начальных условий. 

Таким  образом,  мы  геометрически 

определили  решение  дифференциально-

го  уравнения  (10.1)  для  конкретных  на-

чальных  условий.  Однако  в  настоящее 

время  этот  способ  не  находит  примене-

ния,  так  как  наличие  развитых  средств 

вычислительной  техники  позволяет  лег-

ко  получить  требуемую  совокупность 

решений. 

Интерес  представляют  упрощенные 

аналитические  способы  построения  фа-

зового портрета системы, одним из которых является способ изоклин, 

когда не требуется информация о значениях вектора скорости. 

Изоклиной называют линию в пространстве состояний, соединяю-

щую все точки пространства с одинаковым наклоном фазовых траекто-

рий. Выражение для коэффициента наклона траекторий  k  имеет вид 

2

2

1

2

1

1

1

2

( ,

)

( ,

)

x

f

x x

k

x

f x x





, 

 (10.3) 

х( )

х(t )

i

x

n

1

x

x

n

x(t) 

x

1

(0)

x

Рис. 10.1. Пример построе-

ния фазовой траектории 

10.1. Метод фазовой плоскости 

337 

откуда чаще всего удается получить явное аналитическое описание се-

мейства изоклин 
 

2

1

( , )

x

x k . 

Задаваясь  рядом  численных  значений  k из  диапазона  от  –∞  

до  +∞,  получим  из  (10.4)  совокупность  конкретных  изоклин.  Следует 

отметить, что чем больше построено изоклин, тем полнее и точнее будет 

фазовый портрет, технику построения которого поясним на примере. 

ПРИМЕР  10.1 

Построить  фазовый  портрет  системы,  поведение  которой  описывает 

уравнение 

0,5

2

y

y

y

u





, 

при численном значении управляющего воздействия 

1

u

. 

Предварительно  перейдем  к  описанию  системы  в  переменных  состоя-

ния, полагая 

1

2

,

x

y

x

y , 

1

2

2

1

2

,

0,5

2.

x

x

x

x

x




В соответствии с (10.3) определим  коэффициент наклона фазовых тра-

екторий: 

2

1

2

1

2

0, 5

2

x

x

x

k

x

x





и запишем уравнение семейства изоклин 

1

2

2

0,5

x

x

k

. 

Придавая коэффициенту k определенные численные значения, получим 

уравнения конкретных изоклин (табл. 10.1). 

Т а б л и ц а  10.1    

k  

0 

1 

–1 

… 

∞ 

arctg k  

0 

4

4

… 

2

Изоклина 

1

4 2x  

1

4

2

3

x

1

4

2x  

… 

2

0

x

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

338 

Построив  на  фазовой  плоскости  каж-

дую изоклину (рис. 10.2), отметим угол  , 

под которым ее будут пересекать фазовые 

траектории системы. 

Оценив  знаки  производных  перемен-

ных состояния в начальной точке, опреде-

лим направление движения. С этой целью 
координаты  выбранной  точки 

1,5;

5  

подставим в уравнения состояния системы 
и  получим 

1

2

0,

0

x

x





.  Соответствую-

щая  фазовая  траектория  приведена  на  

рис. 10.2. Как видим, система устойчива и 

переходные процессы в ней имеют колеба-

тельный характер. 

Отметим,  что  для  линейных  систем  изоклины  представляют  собой 

прямые, которые пересекаются в одной точке. Для нелинейных систем 

они  могут  иметь  произвольный  характер,  причем в  этом  случае  фазо-

вый портрет можно построить, используя соответствующий пакет при-

кладных программ (например, SIMULINK). 

10.2. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА 

10.2.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ 

Одним из характерных режимов работы нелинейной системы явля-

ется автоколебательный режим, когда при отсутствии периодического 

входного  сигнала  в  системе  возникают  незатухающие  периодические 

процессы. Подобный режим работы может быть требуемым (например, 

в  различных  генераторах  колебаний)  или  же  к  нему  могут  сходиться 

процессы системы. 

Одна из задач анализа переходных процессов заключается в иссле-

довании возможности возникновения автоколебаний и определении их 

параметров  (амплитуды  и  частоты).  Для  этих  целей  был  разработан 

регулярный  метод,  который  в  русскоязычной  литературе  получил  на-

звание метода гармонического баланса [6, 35]. Этот метод применя-

ется  для  анализа  систем с  одним  нелинейным  элементом,  причем  для 
простоты будем полагать, что входное воздействие отсутствует 

0

v

, 

2

x

1

x

0

2

2

4

6

x

2

6 

4 

2 

0 

2 

x

1

Рис. 10.2. Фазовая траектория  

к примеру 10.1

10.2. Метод гармонического баланса 

339 

а  все  линейные  звенья  объединены  в  одно  с  передаточной  функцией 

л

( )

W p .  Структурная  схема  рассматриваемых  систем  изображена  на 

рис. 10.3. 

( )

W p

u

v

y

( )

W p

л

НЭ

W

л

(р) 

Рис. 10.3. Структурная схема исследуемой  

системы 

Метод гармонического баланса пригоден для исследования автоко-

лебательных  систем  практически  любого  порядка,  но  требует  обеспе-

чения условий хорошей фильтрации возникающих на выходе нелиней-

ного  звена  гармонических  составляющих  сигнала  (выше  первой 

гармоники). 

В  основе  расчетных  соотношений  метода  гармонического  баланса 

лежит  способ  гармонической  линеаризации  нелинейного  элемента  

[6, 19], который мы далее и рассмотрим. 

10.2.2. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ 

Под  линеаризацией  понимают  приближенную  замену  нелинейной 

функции  линейной  таким  образом,  чтобы  по  како-

му-то  выбранному  показателю  обе  эти  функции 

совпадали. 

В  способе  гармонической  линеаризации  нели-

нейный  элемент  (рис.  10.4)  заменяется  квазилиней-

ным звеном, параметры которого определяются при 

синусоидальном входном сигнале 

sin(

)

A

t

(10.4) 

из  условия  равенства  амплитуд  первых  гармоник  на  выходе  нелиней-
ного элемента и эквивалентного ему линейного звена. 

Рассмотрим  процедуру  линеаризации  для  нелинейного  элемента, 

уравнение которого примем в виде 

( , )

u

f

 . 

(10.5) 

Н

Э

u

Рис. 10.4. Нели-

нейный элемент 

Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 

340 

При поступлении на его вход гармонического сигнала (10.4) на выходе 

звена в установившемся режиме также будет периодический, но неси-

нусоидальный сигнал 

sin(

),

cos(

)

( ,

)

u

f A

t A

t

f A

t .  

(10.6) 

Разложим его в ряд Фурье [40] и получим 

0

1

sin(

)

cos(

)

k

k

k

u

u

b

k t

c

k t

, 

 (10.7) 

где  будем  полагать 

0

0

u

,  что  справедливо  для  симметричной  нели-

нейной характеристики (10.6). 

С учетом (10.6) коэффициенты ряда Фурье (10.7) определяются из-

вестными соотношениями 

2

0

2

0

1

( ,

)sin(

) (

),

1

( ,

) cos(

) (

).

k

k

b

f A

t

k t d

t

c

f A

t

k t d

t

Используем только первые члены ряда разложения в (10.7), пренебре-

гая высшими гармониками, и получим 

1

1

sin(

)

cos(

)

u

b

t

c

t . 

(10.8) 

Учтем, что 

sin(

)

A

t

, а 

cos(

)

A

t



, следовательно, 

sin(

)

,

cos(

)

.

t

A

t

A

  

(10.9) 

После  подстановки (10.9)  в  (10.8)  получим  выражение  для  выходного 

сигнала нелинейного звена 

1

1

b

c

u

A

A

 ,