Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19965
Скачиваний: 135
Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
346
Решив уравнения (10.23) относительно A и , получим параметри-
ческие зависимости
( ),
( )
A
A
(10.24)
и построим соответствующие графики (рис. 10.7).
A
гр
A
0
0
0
гр
0
Рис. 10.7. Пример влияния параметра α на периодические процессы
По этим графикам можно выбрать значение
0
, при котором в сис-
теме будут возникать периодические процессы с определенной ампли-
тудой и частотой (
0
A и
0
).
10.2.6. СПОСОБ ГОЛЬДФАРБА
Решение основного уравнения метода гармонического баланса
(10.19) относительно амплитуды и частоты автоколебаний можно по-
лучить графически.
В способе Гольдфарба [6, 19] предлагается решить основное урав-
нение относительно частотной характеристики линейной части систе-
мы следующим образом:
л
НЭ
1
(
)
( ,
)
W
j
W
A j
.
(10.25)
Затем на комплексной плоскости строятся амплитудно-фазовая харак-
теристика
л
(
)
W
j
и характеристика, соответствующая нелинейному
элементу, т. е.
10.2. Метод гармонического баланса
347
НЭ
1
( ,
)
W
A j
.
(10.26)
Если эти две характеристики не пересекаются, то периодических про-
цессов в нелинейной системе не возникает.
При наличии пересечений частота автоколебаний определяется по
частотной характеристике линейной части системы
л
(
)
W
j
, а ампли-
туда – по характеристике нелинейного элемента в точке пересечения.
Поскольку в общем случае точек пересечения
л
(
)
W
j
и характери-
стики нелинейного элемента (10.26) может быть несколько, в системе
могут возникать соответствующие им периодические процессы раз-
личной амплитуды и частоты. Причем часть из них будут устойчивы-
ми, а часть – неустойчивыми.
Устойчивость найденного колебательного режима позволяет оце-
нить следующее правило (оно не является строго обоснованным, но
зачастую оказывается полезным). Если при движении по обратной час-
тотной характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения
амплитуды происходит пересечение амплитудно-фазовой характери-
стики линейной части «изнутри наружу», то этой точке пересечения
соответствуют устойчивые колебания (автоколебания). В противном
случае колебания будут неустойчивыми.
На рис. 10.8 характеристики
л
(
)
W
j
и
1
НЭ
( ,
)
W
A j
пересекают-
ся в двух точках. Это означает, что
в системе могут возникать два вида
колебаний.
Im
Re
(
)
W j
л
1
( )
W
A
НЭ
1
2
Im
Re
л
(
)
W
j
НЭ
1
( )
W
А
2
1
Рис. 10.8. Иллюстрация способа Гольдфарба
Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
348
Причем первой точке пересечения соответствуют устойчивые коле-
бания (автоколебания) с амплитудой
1
A и частотой
1
, а второй точке –
неустойчивые.
ПРИМЕР 10.4
Определить параметры колебаний и проверить их устойчивость для
системы, изображенной на рис. 10.6. Здесь нелинейный элемент представ-
ляет собой идеальное реле (см. рис. 10.5) с уровнем ограничения c
,
а передаточная функция линейной части следующая:
л
2
2
( )
(
1)
W
p
p p
p
.
Получим выражение для амплитудно-частотной характеристики
(рис. 10.9) в виде
л
2
2
(
)
(
1)
W
j
j
j
или
2
2
л
4
2
2 2
4
2
2 2
2
2 (1
)
(
)
(1
)
(1
)
j
W
j
.
Запишем выражение для частотной характеристики нелинейного эле-
мента
НЭ
1
4
4
( ,
)
( )
с
W
A
q A
A
A
,
а затем построим годограф (рис. 10.9)
НЭ
1
( )
4
A
W
A
.
Как видим, эти характеристики пересе-
каются в одной точке, которая соответст-
вует автоколебаниям. Для определения их
параметров найдем координаты точки пе-
ресечения, для чего приравняем нулю
мнимую часть
л
(
)
W
j
:
Im
Re
(
)
W j
л
1
( )
W
A
-
-2
0
НЭ
1
( )
W
A
Im
Re
0
–2
л
(
)
W
j
Рис. 10.9. Расположение ха-
рактеристик (10.23) для при-
мера 10.4
10.2. Метод гармонического баланса
349
2
л
4
2
2 2
2 (1
)
Im
(
)
0
(1
)
W
j
.
Отсюда следует, что
1
a
.
При найденном значении частоты получим
л
Re
(
)
2
a
W
j
.
Из условия
л
Re
(
)
2
4
a
A
W
j
определим амплитуду автоколебаний:
8
a
A
.
10.2.7. СПОСОБ КОЧЕНБУРГЕРА
Способ Коченбургера представляет собой второй вариант графиче-
ского решения основного уравнения метода гармонического баланса
(10.19). В этом случае его предлагается решить относительно характе-
ристики нелинейного элемента системы следующим образом:
НЭ
л
1
( ,
)
(
)
W
A j
W
j
.
(10.27)
Как и в способе Гольдфарба, точки пе-
ресечения двух характеристик согласно
(10.27) свидетельствуют о наличии в сис-
теме колебательного режима. Причем час-
тота колебаний определяется по обратной
частотной характеристике линейной части
системы
1
л
( ,
)
W
A j
, а амплитуда – по
характеристике нелинейного элемента
НЭ
(
)
W
j
в точке пересечения (рис. 10.10).
Процедура определения автоколебаний
аналогична способу Гольдфарба, однако
правило формулируется следующим обра-
зом. Если при движении по характерис-
Im
Re
1
(
)
W
jw
-
л
( ,
)
W
A jw
НЭ
л
1
(
)
W
jw
Im
W
НЭ
(A, jw)
Re
Рис. 10.10. Определение ав-
токолебаний способом Ко-
ченбургера для примера 10.5
Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
350
тике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происхо-
дит пересечение обратной частотной характеристики линейной части
«снаружи внутрь», то этой точке пересечения соответствуют автоколе-
бания. В противном случае колебания будут неустойчивыми.
ПРИМЕР 10.5
Определить параметры колебаний методом Коченбургера и проверить
их устойчивость для системы, показанной на рис. 10.6. Здесь нелинейный
элемент представляет собой идеальное реле (см. рис. 10.5) с уровнем огра-
ничения
c
, а передаточная функция линейной части следующая:
л
2
12
( )
(5
1)(3
2
1)
W
p
p
p
p
.
Определим необходимую характеристику реле (см. пример 10.4)
НЭ
НЭ
4
( , )
( )
W
A
W
A
A
и построим ее на плоскости (рис. 10.11). Запишем выражение для обратной
частотной характеристики линейной части
2
3
л
1
13
1
15
7
(
)
12
12
j
W
j
и найдем несколько ее значений (табл. 10.2).
Im
Re
1
л
( ,ω)
W
j
-
-
н э
( ,ω)
W
A j
НЭ
( ,
)
W
A j
–
–1
1
л
(
)
W
j
Рис. 10.11. Иллюстрация способа Коченбургера