Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19966
Скачиваний: 135
10.2. Метод гармонического баланса
341
которое, если принять обозначения
1
1
1
2
( ,
)
,
( ,
)
,
b
q A
A
c
q
A
A
(10.10)
можно записать в виде
2
1
( , )
( , )
q A
u
q A
.
(10.11)
Здесь
1
( , )
q A
и
2
( , )
q A
– коэффициенты гармонической линеари-
зации.
Как видим, уравнение нелинейного звена (10.11) с точностью до
высших гармоник является квазилинейным. При постоянных значени-
ях амплитуды входного сигнала A коэффициенты гармонической ли-
неаризации
1
( , )
q A
и
2
( , )
q A
являются постоянными. Однако раз-
личным значениям амплитуды A соответствуют разные коэффици-
енты
1
( , )
q A
и
2
( , )
q A
. В этом заключается отличие гармонической
линеаризации от обычной (см. разд. 8).
Таким образом, вместо нелинейного элемента с характеристикой
(10.5) можно рассматривать эквивалентное линейное звено, поведение
которого описывается уравнением (10.11). Оно может быть представ-
лено в операторной форме
2
1
( , )
( , )
q
A
u
q A
p
.
(10.12)
Для гармонически линеаризованного нелинейного элемента можно за-
писать передаточную функцию
2
НЭ
1
( , )
( , , )
( , )
q A
u
W
p A
q A
p
(10.13)
и получить из нее выражение для частотной характеристики
НЭ
1
2
( ,
)
( , )
( , )
W
A j
q A
jq A
.
(10.14)
Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
342
В случае статической нелинейной характеристики вместо (10.5)
имеем
( )
u
f
и уравнение (10.12) принимает вид [6]
2
1
( )
( )
q
A
u
q A
p
,
(10.15)
где коэффициенты гармонической линеаризации
1
( )
q A и
2
( )
q A зави-
сят только от амплитуды. При этом получим передаточную функцию
2
НЭ
1
( )
( ,
,
)
( )
q A
W
p A
q A
p
(10.16)
и частотную характеристику
НЭ
1
2
( ,
)
( )
( )
W
A j
q A
jq A
(10.17)
статического нелинейного звена.
Для однозначной статической нелинейной характеристики коэффи-
циент
2
( )
0
q A
, и вместо (10.14) получим
НЭ
1
( ,
)
( )
W
A j
q A .
(10.18)
Коэффициенты гармонической линеаризации типовых статических
нелинейных звеньев приводятся в литературе (например, в [6, 40]).
ПРИМЕР 10.2
Определить эквивалентную передаточную функцию нелинейного звена,
которое представляет собой идеальное реле (рис. 10.5).
Поскольку идеальное реле имеет одно-
значную статическую характеристику, вы-
ражение для его передаточной функции
(10.16) имеет вид
НЭ
1
( ,
)
( )
W
A j
q A ,
где коэффициент
1
( )
q A
определяется как
–c
u
c
Рис. 10.5. Статическая харак-
теристика идеального реле
10.2. Метод гармонического баланса
343
2
1
0
1
4
( )
( ,
) sin(
) (
)
.
c
q A
f A
t
t d
t
A
A
Далее, учитывая полученные выражения для передаточных функций
гармонически линеаризованных нелинейных элементов (10.14), (10.17),
рассмотрим соотношения метода гармонического баланса.
10.2.3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Если в системе, изображенной на рис. 10.3, гармонически линеари-
зовать нелинейный элемент, заменив его эквивалентной передаточной
функцией
НЭ
( ,
, )
W
p A
, то она становится линейной (рис. 10.6). Сле-
довательно, в этом случае для анализа свойств системы можно приме-
нять методы линейной теории управления.
( )
W p
( , , )
W
A
p
( )
W p
л
( , , )
W
A
p
НЭ
v = 0
u
y
НЭ
( , , )
W
A
p
л
( )
W p
Рис. 10.6. Структурная схема гармонически
линеаризованной системы
Как известно, в линейной системе (при отсутствии синусоидального
сигнала на входе) незатухающие колебания будут возникать лишь в
том случае, когда она находится на границе устойчивости. Таким обра-
зом, для определения автоколебаний в исходной системе (см. рис. 10.3)
необходимо рассмотреть условие границы устойчивости линеаризо-
ванной системы. В соответствии с критерием Найквиста в этой ситуа-
ции амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы должна
проходить через точку
1,
0
j
, т. е.
р
( ,
)
1
W
A j
.
Учитывая, что
р
НЭ
л
( ,
)
( ,
)
(
)
W
A j
W
A j
W
j
, запишем условие гра-
ницы устойчивости в виде
НЭ
л
( ,
)
(
)
1
W
A j
W
j
.
(10.19)
Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
344
Это уравнение и представляет собой основное уравнение метода гар-
монического баланса, из которого можно определить параметры авто-
колебаний. Если (10.19) не имеет положительных вещественных реше-
ний относительно A и , то автоколебательный режим в нелинейной
системе не возникает.
Для решения основного уравнения метода гармонического баланса
были предложены различные способы, которые мы далее последова-
тельно и рассмотрим.
10.2.4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ
В этом случае для определения границы устойчивости линеаризован-
ной системы удобнее воспользоваться критерием Михайлова. С этой
целью решим характеристическое уравнение системы (см. рис. 10.6)
НЭ
л
( , , ) 1
( ,
, )
( )
0,
F p A
W
p A
W p
(10.20)
заменив в котором p на j , получим условие границы устойчивости
согласно критерию Михайлова
НЭ
л
( ,
) 1
( ,
)
(
)
0
F A j
W
A j
W
j
.
(10.21)
Заметим, что (10.21) есть преобразованная форма записи основного
уравнения метода гармонического баланса (10.19).
Выделяя вещественную и мнимую части ( ,
)
F A j
, получим соот-
ношения
Re ( ,
)
0,
Im ( ,
)
0,
F A j
F A j
(10.22)
которые позволяют аналитически вычислить параметры автоколебаний
A и
.
ПРИМЕР 10.3
Определить параметры автоколебаний в системе (см. рис. 10.3), если
нелинейный элемент представляет собой идеальное реле (см. рис. 10.5) с
уровнем ограничения c
, а линейную часть описывает передаточная
функция
л
2
2
( )
(
1)
W
p
p p
p
.
10.2. Метод гармонического баланса
345
Запишем передаточную функцию гармонически линеаризованного иде-
ального реле
НЭ
4
4
( ,
)
c
W
A j
A
A
,
а затем характеристическое уравнение (10.18)
2
4
2
1
0
(
1)
A p p
p
,
которое преобразуем к виду
3
2
(
) 8
0
A p
p
p
.
Заменив здесь
p
на
j
, получим
3
2
(
) 8
0
A
j
j
.
В результате расчетные соотношения имеют вид
2
3
8
0 ,
0.
A
Таким образом, в нелинейной системе будут возникать периодические
движения со следующими параметрами:
1
и
8
A
.
10.2.5. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ
НА ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В некоторых случаях возникает необходимость оценить влияние
одного из параметров системы (обозначим его ) на автоколебания.
При этом уравнение (10.21) принимает вид
НЭ
л
( ,
, ) 1
( ,
)
(
, )
0
F A j
W
A j
W
j
.
Следовательно, соотношения (10.22), кроме параметров A и , со-
держат :
Re ( ,
,
)
0,
Im ( ,
,
)
0.
F A
F A
(10.23)