Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 19962
Скачиваний: 135
10.2. Метод гармонического баланса
351
Т а б л и ц а 10.2
0
1
13
7
15
1
…
1
Re
(
)
л
W
j
–
0,083
0
5,983
1
…
1
Im
(
)
л
W
j
0
–0,135
0
0,667
…
Соответствующий график построен на рис. 10.11, где 4/А = 5,983.
Следовательно, параметры автоколебаний:
7 15,
a
0,669
a
A
.
10.2.8. КОРРЕКЦИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ
В некоторых случаях автоколебательный режим является желаемым
режимом работы нелинейной системы, поэтому он должен иметь опре-
деленные амплитуду и частоту. Если параметры автоколебаний отли-
чаются от требуемых, то возникает необходимость в их коррекции.
С этой целью можно воспользоваться следующими рекомендациями.
1. Если можно изменить значения коэффициентов линейной части,
следует попытаться подобрать их с учетом заданных параметров авто-
колебаний. Выбор коэффициентов линейной части осуществляется так,
как описано в подразд. 10.2.5.
2. Если параметры линейной части нельзя изменить, то необходимо
ее скорректировать. В этом случае на входе линейной части устанавли-
вают дополнительное звено (корректор), которое рассчитывают любым
известным в линейной теории методом синтеза.
3. При невозможности изменить линейную часть системы можно
попытаться скорректировать нелинейный элемент.
10.2.9. УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ
МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Точность метода гармонического баланса зависит от точности заме-
ны нелинейного элемента эквивалентным линейным звеном, получен-
ным в результате гармонической линеаризации. Отсюда следуют усло-
вия применимости метода гармонического баланса.
Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
352
1. Линейная часть системы должна быть низкочастотным фильт-
ром, т. е. отфильтровывать возникающие на выходе нелинейного эле-
мента все гармонические составляющие сигнала, кроме первой.
Для большинства систем, у которых степень полинома числителя
передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, это
условие выполняется.
Кроме требования фильтрации, предъявляемого к линейной части,
отметим случаи, когда в системе не будут возникать автоколебания.
2. При наличии однозначной статической нелинейной характери-
стики и передаточной функции линейной части, у которой в числителе
находится только коэффициент усиления (т. е.
л
( )
( )
W p
k A p ), авто-
колебания в системе могут возникать только тогда, когда степень ха-
рактеристического полинома
3
n
.
3. В случае неоднозначной статической нелинейной характеристи-
ки и
л
( )
( )
W p
k A p в системе может возникнуть автоколебательный
режим, если
2
n
.
10.3. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Этот метод обосновывает возможность пренебрежения малыми па-
раметрами, которые присутствуют в математической модели и обычно
не учитываются при проектировании реальной системы управления.
Следует заметить, что подобное пренебрежение допустимо, если при
этом не изменяются качественные свойства системы, а количественно
они изменяются несущественно.
Рассмотрим суть метода малого параметра для системы, поведение
которой описывают уравнения состояния [8]
( )
( ),
n
x
f x
x
x
R
.
(10.28)
Здесь ( )
f x
и ( )
x
– непрерывные дифференцируемые функции с ог-
раниченными производными,
(0)
0
f
и
(0)
0
, а нормы вектор-
функций соизмеримы,
( ) ~
( )
f x
x
;
– малый параметр, причем о
его малости можно говорить, когда
0,1
( )
f x .
Наряду с исходной системой будем рассматривать вырожденную,
которая получается из (10.26) при
0 :
( )
x
f x
.
(10.29)
10.3. Метод малого параметра
353
На вопрос о том, насколько процессы в системе (10.28) близки к
процессам (10.29), отвечает следующее утверждение.
Теорема. Если вырожденная система (10.29) экспоненциально ус-
тойчива, то существует такое достаточно малое значение , при ко-
тором исходная система (10.26) также экспоненциально устойчива.
Для доказательства используем второй метод Ляпунова. Поскольку
вырожденная система экспоненциально устойчива, для нее существует
такая функция Ляпунова ( )
V x , что ее полная производная вдоль траек-
торий движения (10.29) удовлетворяет неравенству
2
( )
( )
,
0
T
V
V x
f x
c x
c
x
.
(10.30)
Используем эту же функцию ( )
V x
для анализа устойчивости ис-
ходной системы. Ее полная производная в силу (10.26) имеет вид
( )
( )
( )
T
T
V
V
V x
f x
x
x
x
.
(10.31)
С учетом (10.30) вместо (10.29) получим неравенство
2
( )
( )
T
V
V x
c x
x
x
.
(10.32)
Поскольку произведение
( )
T
V
x
x также можно ограничить
сверху квадратом нормы, при достаточно малом значении
вторая
составляющая правой части (10.32) будет меньше по модулю, чем пер-
вая. При этом значение ( )
V x
будет не просто меньше нуля, а меньше
некоторой квадратичной оценки. Следовательно, система (10.28) будет
экспоненциально устойчива.
К сожалению, конкретное численное значение , начиная с которо-
го будет выполняться условие экспоненциальной устойчивости исход-
ной системы, оценить довольно трудно. Применяемый с этой целью
второй метод Ляпунова дает явно заниженные значения. В малой окре-
стности точки равновесия имеет смысл линеаризовать систему (10.28)
и найти граничное значение параметра с помощью любого критерия
устойчивости.
Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
354
Отметим, что теорема позволяет упростить исследование устойчи-
вости сложных нелинейных систем, так как достаточно проверить ус-
тойчивость более простой вырожденной системы.
10.4. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
Метод разделения движений также выражает идею малого параметра,
но только по отношению к коэффициентам, определяющим инерцион-
ность отдельных элементов системы. В реальных ситуациях полное
движение можно представить композицией процессов, протекающих с
различными скоростями. При этом обычно пренебрегают быстрыми со-
ставляющими процесса, порожденными малыми инерционностями, что
не всегда допустимо, так как может привести к ошибочным выводам
относительно качественных свойств системы, в частности ее устойчиво-
сти. Метод разделения движений позволяет ответить на вопрос: «При
каких условиях можно пренебречь малыми инерционностями?».
Суть метода заключается в представлении общей модели системы с
малыми параметрами в виде совокупности двух подсистем, каждая из
которых соответствует своему темпу процессов. В результате упроща-
ется процедура ее анализа и синтеза: вместо сложной системы высоко-
го порядка можно рассматривать две относительно простые подсисте-
мы меньшего порядка.
10.4.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ
Математическая модель системы с разнотемповыми процессами
представляет собой систему дифференциальных уравнений с малым
параметром при части производных [7, 8, 10]:
( , ),
,
( , ),
,
n
m
x
f x y
x
R
y
x y
y
R
(10.33)
где функции ( )
f
и ( ) соизмеримы по норме в рабочей области про-
странства состояний.
Обсудим некоторые свойства этой системы, фазовый портрет кото-
рой изображен на рис. 10.12.
10.4. Метод разделения движений
355
y
x
( , )
0
x y =
Рис. 10.12. Пример фазового портрета
системы с разнотемповыми процессами
Как видим, процессы имеют две фазы движения: из произвольных
начальных условий к поверхности ( , ) 0
x y
и вдоль нее. Выясним,
как соотносятся при этом векторы скорости y и x [8].
1. Во
всем пространстве, кроме окрестности поверхности
( , )
0
x y
, вектор скорости ориентирован почти параллельно коорди-
нате y . Это означает, что скорость изменения переменных y много
выше, чем x . Они связаны следующим приближенным соотношением:
1
, :
0
y
x
x y
.
2. Если изображающая точка системы движется вдоль поверхности
( , )
0
x y
, то скорости изменения переменных будут соизмеримы. В
самом деле, поскольку в этом случае справедливо условие
( ), ( )
0
t
x t y t
,
полная производная функции ( ) по времени будет равна нулю, т. е.
( , )
0
T
T
x y
x
y
x
y
.
Векторы y и x связаны конечным соотношением, что и означает их
соизмеримость.
Таким образом, при движении из произвольных начальных состоя-
ний вначале процесс развивается быстро в силу большей скорости