Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

2.7. Модальные характеристики 

41 

Система  уравнений  (2.34)  будет  иметь  ненулевое  решение  относи-

тельно  , если 

det[

]

0.

I

A

(2.35) 

Уравнение  (2.35)  есть  характеристическое  уравнение  системы  и 

имеет n корней 

1

( ,...,

)

n

, которые называются собственными значе-

ниями  матрицы  A.  При  подстановке  собственных  значений  в  (2.35) 

получим 

0

i

i

I

A

(

i

 – собственные векторы, 

1,

i

n ). 

Совокупность собственных значений и собственных векторов пред-

ставляет собой модальные характеристики системы. 

Для  (2.32)  могут  существовать  лишь  экспоненциальные  

решения 

( )

,

i

t

i

i

x t

e

(2.36) 

которые называют модами. Полное решение системы (2.32) представ-

ляет собой линейную комбинацию мод:  

1

( )

.

i

n

t

i

i

i

x t

c e

(2.37) 

Для получения характеристического уравнения системы можно ис-

пользовать  выражение  (2.27),  т.  е.  приравнять  нулю  общий  знамена-

тель передаточной матрицы (передаточной функции). 

При  исследовании  свойств  системы  ее 

собственные значения (полюса) удобно изо-

бражать в виде точек на комплексной плос-

кости  (рис.  2.6).  Такое  графическое  пред-

ставление корней характеристического урав-

нения  называют  корневым  портретом  си-

стемы. С его помощью в ряде случаев мож-

но практически без вычислений оценить ка-

чественные  свойства  процессов,  протекаю-

щих в линейных системах. 

Im

Re

Re

Im 

Re 

Рис. 2.6. Пример корне-

вого портрета системы 

Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

42 

ПРИМЕР  2.9 

Изобразить корневой портрет объекта, поведение которого описывают 

следующие уравнения: 

1

1

2

2

1

2

1

,

4

2 ,

.

x

x

x

u

x

x

x

u

y

x




Определим  матрицу  объекта 

1 1

4 1

A

и запишем характеристическое уравнение 

2

( )

det(

)

2

3

0.

A p

pI

A

p

p

Собственные  значения  матрицы  A  следующие: 

1

2

1 ,

3

p

p

.  Они 

изображены на комплексной плоскости корней в виде точек (рис. 2.7). 

2.8. ЧАСТОТНЫЕ  ХАРАКТЕРИСТИКИ 

Важными  динамическими  характеристиками  объекта  являются  его 

частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между 

параметрами  периодических  сигналов  на  входе  и выходе. Чаще  всего 

их используют для описания одноканальных объектов:  

1

( )

,

.

1

m

m

n

n

b p

W p

k

n

m

a p





(2.38) 

Если на вход объекта подавать гармонический сигнал заданной ам-

плитуды 

1

A  и частоты 

, 

1

cos

,

u

A

t  

то  на  выходе  в  установившемся  режиме  у  устойчивого  объекта  

(см. гл. 4) будет также гармонический сигнал той же частоты, но в об-

щем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе 

2

cos(

)

y

A

t

. 

Re

1

p

2

p

Im 

p

1

p

2

  Re 

Рис. 2.7. Корневой портрет  

объекта 

2.8. Частотные  характеристики 

43 

Для нахождения соотношения между входным и выходным гармо-

ническими сигналами можно воспользоваться передаточной функцией 

(2.38), из которой формальной заменой p на  j  получим обобщенную 
частотную характеристику 

(

)

1

( )

.

(

)

1

m

m

n

n

b

j

W p

k

a

j





(2.39) 

Ее можно представить в виде 

( )

(

)

( )

( )

( ).

j

W j

A

e

R

jI

(2.40) 

Составляющие  обобщенной  частотной  характеристики 

(

)

W j

имеют самостоятельное значение и следующие названия: 

( )

R

 – вещественная частотная характеристика (ВЧХ), 

( )

I

 – мнимая частотная характеристика (МЧХ), 

2

2

( )

( )

( )

A

R

I

  –  амплитудно-частотная  характеристика 

(АЧХ), 

( )

( )

arctg

( )

I

R

 – фазовая частотная характеристика (ФЧХ). 

Для  исследования  частотных  свойств  объекта  или  системы  удобно 

использовать графическое представление частотных характеристик. В 

этом случае обобщенная частотная характеристика  (

)

W j

 может быть 

построена  на  комплексной  плоскости  в  соответствии  с  выражением 
(2.40),  когда  каждому  значению  частоты 

i

  соответствует  вектор 

(

)

i

W j

.  При  изменении 

от  0  до 

конец  этого  вектора  «прочерчивает»  на 

комплексной  плоскости  кривую,  кото-

рая  называется  амплитудно-фазовой 

характеристикой (АФХ).  

Наряду с амплитудно-фазовой харак-

теристикой  (рис.  2.8)  можно  построить 

все  остальные  частотные  характеристи-

ки.  Так,  амплитудная  частотная  харак-

теристика  показывает,  как  звено  про-

пускает  сигналы  различной  частоты; 

(

)

W j

Im

Re

( )

A

( )

(

)

W j

Re

( )

A

( )

Re 

Im 

(

)

i

A

Re 

(

)

i

(

)

W j

Рис. 2.8. Пример амплитудно-

фазовой характеристики сис-

темы 

Глава 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

44 

причем  оценкой  пропускания  является  отношение  амплитуд  выход-
ного 

2

(

)

A   и  входного  сигналов 

1

(

)

A .  Фазовая  частотная  характери-

стика  отражает  фазовые  сдвиги,  вносимые  системой  на  различных 

частотах. 

Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в теории 

автоматического  управления  используются  логарифмические  час-

тотные  характеристики.  Удобство  работы  с  ними  объясняется  тем, 

что операции умножения и деления заменяются на операции сложения 

и вычитания, а это позволяет во многих случаях строить их практиче-

ски без вычислений.  

Амплитудная частотная характеристика, построенная в логарифми-

ческом масштабе, 

( )

20lg ( ),

L

A

(2.41) 

называется  логарифмической  амплитудно-частотной  характери-
стикой  (ЛАЧХ).  При  этом  амплитуда  измеряется  в  децибелах  (дБ). 
При  изображении  ЛАЧХ  (рис.  2.9)  удобнее  по  оси  абсцисс  отклады-
вать частоту также в логарифмическом масштабе, т. е.  lg , выражен-
ную в декадах (дек.). 

L, дБ

lg 

дек

L( )

Рис.  2.9.  Пример логарифмической 

амплитудно-частотной характеристики 

lg 

, дек.

L (ω) 

L, дБ 

( )

lg 

дек

( )

, град

Рис. 2.10. Пример логарифмической 

фазовой частотной характеристики 

lg 

, дек. 

, град 

φ(ω) 

На  практике  применяется  также  и  логарифмическая  фазово-

частотная  характеристика.  При  ее  изображении  используется  ось 
абсцисс, на которой указывают частоту в логарифмическом масштабе, 
а по оси ординат откладывают фазу в градусах в линейном масштабе 
(рис. 2.10). 

Отметим,  частотные  характеристики  можно  использовать  и  для 

описания  бесконечномерных  объектов,  если  их  получать  эксперимен-
тально.  

2.8. Частотные  характеристики 

45 

ПРИМЕР  2.10 

Для объекта с заданной передаточной функцией 

10

( )

1

p

W p

p

построить амплитудно-фазовую (АФХ), вещественную частотную и фазо-

вую частотную характеристики (ВЧХ, ФЧХ). 

Запишем  выражение  для  обобщенной  частотной  характеристики,  сде-

лав замену в передаточной функции 

p

j

: 

2

2

2

10

10

10

(

)

.

1

1

1

j

W j

j

j

Выражения для ВЧХ и ФЧХ имеют вид 

2

2

10

( )

,

1

R

( )

1

( )

arctg

arctg

.

( )

I

R

( )

Re  (

)

W j

Re  (

)

W j

Im  (

)

W j

( )

ФЧХ

Re  (

)

W j

ВЧХ

Re  (

)

W j

Im  (

)

W j

АФХ

Re W(jω) 

ω 

ω 

5 

( )  

Re

(

)

W j

Im

(

)

W j

АФХ

Ф Ч Х

ВЧХ

Рис. 2.11. Частотные характеристики  

для примера 2.10 

Соответствующие  частотные  характеристики,  построенные  при  изме-

нении частоты от 0 до 

, показаны на рис. 2.11.